17、优化算法在电气工程中的应用

优化算法在电气工程中的应用

1. 共轭方向法求解函数最小值

在优化问题中，我们常常需要找到一个函数的最小值。例如，要最小化函数：
[f(x) = f(x_1, x_2, x_3) = 1.5x_1^2 + 2x_2^2 + 1.5x_3^2 + x_1x_3 + 2x_2x_3 - 3x_1 - x_3]
从初始点 (x^{(0)} = [0, 0, 0]^T) 开始。

使用 MATLAB 代码进行迭代求解，通过修改目标函数评估的调用，得到如下迭代过程：
| 迭代次数 | OldPoint | OldValue |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | [0, 0, 0] | 0 |
| 2 | [0.8889, 0.0000, 0.3333] | -1.3518 |
| 3 | [0.8889, -0.1667, 0.3333] | -1.4074 |
| 4 | [0.9583, -0.1667, 0.1250] | -1.4653 |
| 5 | [1.0000, 0.0000, -0.0000] | -1.5000 |

由于使用了带有搜索参数上限的线搜索，需要多进行一次迭代。不过，第三次迭代的解已经非常接近最优解。

我们也可以通过一阶最优性条件进行解析求解。函数在任意点 (x) 的梯度为：
[\nabla f(x) =
\begin{bmatrix}
3x_1 + x_3 - 3 \
4x_2 + 2x_3 \
x_1 + 2x_2 + 3x_3 - 1
\end{bmatrix}]