12、一维优化中的线搜索方法解析

一维优化中的线搜索方法解析

在一维优化的领域中，线搜索是一种至关重要的技术，它能够帮助我们找到函数在特定区间内的最小值。接下来，我们将详细探讨几种常见的线搜索方法，包括黄金分割法、插值法以及基于导数的方法。

1. 黄金分割法

黄金分割法是斐波那契法的一个特殊情况。随着斐波那契数列阶数的不断增加，相邻两个斐波那契数的比值会趋近于一个特定的值，即 0.618。这个比值在数学、生物学、建筑学等多个领域都有着广泛的应用。

黄金分割线搜索的基本思想是在所有迭代中都使用相同的比值，而不是像斐波那契数列那样使用可变的比值。其基本步骤与斐波那契搜索非常相似。

下面通过一个具体的例子来说明黄金分割线搜索方法的应用。
例 4.4 ：使用黄金分割法在区间 [0, 2] 内找到函数 (f(x) = x^4 - 14x^3 + 60x^2 - 70x) 的最小值，并将 (x^ ) 的值定位在 0.3 的范围内。
步骤如下 *：
1. 由于在所有迭代中区间大小的缩减比例相同，因此所需的黄金分割迭代次数 (N) 满足 (2(0.61803)^N < 0.3)，解得最小的迭代次数 (N = 4)。
2. 在第一次迭代中，在区间内创建两个点。第一个点 (x_2 = 0.61803×2 = 1.2361)，点 (x_1) 与左边缘的距离和 (x_2) 与右边缘的距离相同，即 (x_1 = 2.0 - 1.236 = 0.7639)。
3. 根据这两个点的函数值，并利用单峰性假设，我们可以排除区间 ([x_2, 2])。
4. 在第二次迭代中，(x_1