10、混合约束优化与二次规划方法详解

混合约束优化与二次规划方法详解

1. 混合约束优化问题概述

在实际的优化问题中，常常会同时遇到等式约束和不等式约束。这类一般的优化问题可以表述为：
- 目标：最小化函数 (f(x))
- 约束条件：
- (g_j(x) \leq 0)，其中 (j = 1, 2, \cdots, m)
- (h_k(x) = 0)，其中 (k = 1, 2, \cdots, p)

其最优性条件由以下方程组给出：
- (\frac{\partial f}{\partial x_i} + \sum_{j = 1}^{m} \lambda_j \frac{\partial g_j}{\partial x_i} + \sum_{k = 1}^{p} \mu_k \frac{\partial h_k}{\partial x_i} = 0)，对于 (i = 1, 2, \cdots, n)
- (\lambda_j g_j = 0)，对于 (j = 1, 2, \cdots, m)
- (g_j \leq 0)，对于 (j = 1, 2, \cdots, m)
- (\lambda_j \geq 0)，对于 (j = 1, 2, \cdots, m)
- (h_k(x) = 0)，对于 (k = 1, 2, \cdots, p)

需要注意的是，不等式约束的拉格朗日乘子 (\lambda_j) 必须是非负的，而等式约束的拉格朗日乘子 (\mu_k) 则没有符号限制。

2. 二次规划问题

2.1 问题定义

在工程问题中，当目标函数为二次函数或可以足够近似为二