7、线性规划高级主题与极小极大优化

线性规划高级主题与极小极大优化

在优化问题的求解中，线性规划是一种强大的工具，但在处理复杂问题时，会面临一些挑战，如退化问题和大规模问题的收敛速度。同时，极小极大优化在电气设计等领域有着广泛的应用。本文将深入探讨这些高级主题和极小极大优化的相关内容。

线性规划高级主题

• 退化问题 ：在某些线性规划问题中，会出现退化现象，即部分基本变量的值为零。这可能导致单纯形算法在一系列迭代中，在多个解之间循环，而目标函数值却没有变化。为了解决这个问题，可以在选择进入基的基本变量时引入随机性，打破无限循环，使算法能够找到具有更好目标函数值的基本可行解。
• 大规模问题的收敛速度 ：基本解的数量会随着参数数量 $n$ 呈指数级增长，这使得单纯形算法在处理大规模问题时收敛速度极慢。为了加速收敛到最优基本可行解，研究者们开发了多种技术。
  • 对偶问题求解 ：求解原问题的对偶问题是一种有效的方法。对偶问题利用对偶定理，其未知数的数量等于原问题的行数。对于大规模问题，求解对偶问题可能比求解原问题更高效。
  • 内点法（IPMs） ：内点法通过在可行区域内部搜索更好的解，而不是在大量可行基本解之间跳跃，尤其在处理大规模问题时，具有更快的收敛速度。

极小极大优化

极小极大问题定义

在电气设计中，常见的问题是设计电路或结构，使其响应满足特定的上下界要求。例如，微波或光子结构的反射系数在通频带内