2、电气工程中的数学基础：向量、矩阵与导数

电气工程中的数学基础：向量、矩阵与导数

在电气工程领域，数学是解决各种问题的关键工具。本文将深入探讨向量、矩阵的运算，线性方程组的求解方法，以及导数的相关概念，这些知识在优化理论和实际工程应用中都具有重要意义。

1. 向量运算与秩一矩阵

1.1 向量乘法与秩一矩阵

向量乘法是一种重要的运算，其中 $xy^T$ 的结果是一个矩阵。设 $x = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T$，$y = [y_1, y_2, \cdots, y_m]^T$，则 $xy^T$ 为：
[
xy^T =
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2 \
\vdots \
x_n
\end{bmatrix}
[y_1, y_2, \cdots, y_m] =
\begin{bmatrix}
x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_m \
x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_m \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_m
\end{bmatrix}
]
这个矩阵有 $n$ 行 $m$ 列，且所有行都是向量 $y$ 的倍数，因此被称为秩一矩阵，因为它只有一个线性独立的行。

1.2 向量运算示例

考虑两个向量 $x = [1.0,