69、大规模系统的高效模型降阶

大规模系统的高效模型降阶

在大规模系统的模型降阶领域，高效的算法和实现至关重要。本文将深入探讨相关的方法和技术，包括使用的库、矩阵求逆算法以及实验结果等。

模型降阶库

在处理不同规模的线性时不变（LTI）系统模型降阶问题时，有不同的库可供选择：
- SLICOT 库 ：适用于小型 LTI 系统的降阶，在当前桌面计算机上，大致可处理状态空间变量数 $n = 5000$ 的系统。
- PLiCMR ：对于具有数万个状态空间变量的大型问题，可在并行计算机上使用基于符号函数的方法进行降阶。

不过，使用直接或基于符号函数的求解器来利用 Lyapunov 方程中矩阵的稀疏结构存在困难，这限制了上述两个库中基于奇异值分解（SVD）算法的适用性。但这些方法完全基于数值线性代数库（如 BLAS 和 LAPACK）中的高性能内核。

符号函数方法

矩阵符号函数是求解稳定（标准）Lyapunov 方程的有效工具。以下是用于求解 Lyapunov 方程的 Newton 迭代的变体算法 CECLNC：

Algorithm CECLNC:
A0 ← A, ˜S0 ← BT, ˜R0 ← C
k ← 0
repeat
    Ak+1 ← 1/√2 * (Ak + A−1k)
    ˜Sk+1 ← 1/√2 * [˜Sk, ˜Sk(A−1k)T]
    ˜Rk+1 ← 1/√2 * [˜Rk, ˜RkA−1k]
    k ← k + 1
until convergence