57、结核病隔离策略与社交网络节点中心性分析

结核病隔离策略与社交网络节点中心性分析

结核病隔离策略的优化控制分析

在结核病防控研究中，优化控制理论被用于制定最佳的隔离策略，以有效减少潜伏感染和感染个体的数量。

1. 最优控制的推导与唯一性

   • 通过对最优控制和相应状态的评估，得到伴随系统和横截条件。最优控制 (u^ ) 的特征（公式 5）由最优性条件 (\frac{\partial H}{\partial u} = 0) 推导得出，即 (u(t) = \frac{1}{B} (\lambda_3 - \lambda_4) \tau I)，同时考虑了 (u^ ) 的边界条件。
   • 将最优隔离控制的表示纳入后，得到状态系统与伴随系统耦合的最优性系统（III）。该系统的唯一性保证了最优控制的唯一性，但由于状态系统和伴随系统时间方向相反，对时间区间长度有一定限制，对于较小的 (T_f) 才能保证最优控制对的唯一性。

2. 数值算法求解

   • 采用前向 - 后向扫描法来数值求解由最优性系统（III）表示的两点边值问题，具体步骤如下：
     • 步骤 1：在区间 ([a, b]) 上存储控制 (u) 的初始猜测值（通常 (u \equiv 0) 就足够）。
     • 步骤 2：利用状态 (X) 的初始条件 (X_0) 和存储的 (u) 值，根据最优性系统中的微分方程，使用前向四阶龙格 - 库塔方法向前求解 (X)。