4、概率理论与贝叶斯网络在人工智能中的应用

概率理论与贝叶斯网络在人工智能中的应用

在人工智能领域，由于智能体需要在信息不精确的情况下做出合理决策，概率理论逐渐成为其基石之一。它能够对不确定性进行建模和量化，研究知识如何影响信念。

1. 概率理论基础

1.1 基本概念与符号

概率理论围绕随机变量展开，随机变量代表实验的可能结果，其取值范围称为定义域。离散随机变量的定义域是有限且可数的集合，例如布尔变量的定义域是 {true, false}，掷骰子的结果定义域是 1 到 6 的整数集合。

在概率理论中，常用大写字母 (X) 表示随机变量，小写字母 (x) 表示其具体取值。对于布尔变量，若上下文清晰，(x) 表示 (x = true)，(\neg x) 表示 (x = false)。变量集合用粗体大写字母 (\mathbf{X}) 表示，其联合取值用粗体小写字母 (\mathbf{x}) 表示，变量集合的集合用 (\mathcal{X}) 表示。

一个世界 (\omega) 指的是对所考虑的随机变量的一种赋值，所有可能世界的集合称为样本空间，用 (\Omega) 表示。例如，掷一对骰子的样本空间有 36 种可能的世界：((1,1),(1,2),\cdots,(6,6))。所有可能世界的总概率必须等于 1，即：
[0 \leq P(\omega) \leq 1 \quad \forall \omega]
[\sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1]

在实际场景中，人们通常关注涉及多个可能世界的事件。事件 (\psi) 的概率由其成立的世界的概率之和确定：
[P(\psi) = \sum_{\omega