洛谷-2520 [HAOI2011]向量

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本文探讨了如何利用一组特定的向量通过加法组合成目标向量的问题，提出了一种有效的判断方法，通过计算最大公约数和奇偶性判断是否能拼接成功。

题目描述
给你一对数a,b，你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量，问你能不能拼出另一个向量(x,y)。
说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)
输入格式
第一行数组组数t，(t<=50000)
接下来t行每行四个整数a,b,x,y $2*10^9<=a,b,x,y<=2*10^9)$
输出格式
t行每行为Y或者为N，分别表示可以拼出来，不能拼出来
输入输出样例
3
2 1 3 3
1 1 0 1
1 0 -2 3

输出
Y
N
Y

说明/提示
样例解释：
第一组：(2,1)+(1,2)=(3,3)
第三组：(-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3)

解释：
实际上只需要考虑4个 $(a, b), (a, - b), (b, a), (b, - a), k (a, b) + q (b, a) + w (a, - b) + c (b, - a) = (x, y)$
$(k + w) a + (q + c) b = x, (k - w) b + (q - c) a = y (k + w) a + (q + c) b = x, (k - w) b + (q - c) a = y (k + w) a + (q + c) b = x, (k - w) b + (q - c) a = y .$
然后考虑(k+w),(k-w)的k,w同时有整数解，那么很显然，(k+w),(k-w)同奇偶，(q+c)，(q-c)同理。那么我们分类讨论：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll t,a,b,x,y,k;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
bool ok(ll x,ll y){return x%k==0&&y%k==0;}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>a>>b>>x>>y;
        k=gcd(a,b)*2;
        if(ok(x,y)||ok(x+a,y+b)||ok(x+b,y+a)||ok(x+a+b,y+a+b))printf("Y\n");
        else printf("N\n");
    }
    return 0;
}