bzoj 2299: [HAOI2011]向量（gcd+裴蜀定理）

最新推荐文章于 2019-07-13 22:50:33 发布

clover_hxy

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分类专栏：数论

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本文介绍了一个关于向量拼接的问题，并通过裴蜀定理和最大公约数算法来解决如何使用给定的基本向量组合成特定目标向量的问题。文章详细展示了通过调整向量系数的奇偶性来确保解的存在性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

2299: [HAOI2011]向量

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Description

给你一对数a,b，你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量，问你能不能拼出另一个向量(x,y)。

说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)

Input

第一行数组组数t，(t<=50000)

接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2*10⁹<=a,b,x,y<=2*10⁹)

Output

t行每行为Y或者为N，分别表示可以拼出来，不能拼出来

Sample Input

3

2 1 3 3

1 1 0 1

1 0 -2 3

Sample Output

Y

N

Y

HINT

样例解释：

第一组：(2,1)+(1,2)=(3,3)

第三组：(-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3)

Source

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题解：gcd+裴蜀定理

orz zyf2000神犇，感谢他的讲解

x1*a+y1*b=x

x2*a+y2*b=y

要求x1,y2的奇偶性，y1,x2的奇偶性相同

那么将式子进行变形，我们每次强制x1,y2的奇偶性同为奇或者同为偶。

强制都是偶数2*x1*a+2*y1*b=x 2*x2*a+2*y2*b=y 如果有解，那么x,y均为gcd(2*a,2*b)的倍数

强制都是奇数2*(x1-1)a+2*(y1-1)*b=x+a+b,下一个式子同理，再次利用裴蜀定理 x+a+b,y+a+b均为gcd(2*a,2*b)的倍数

再强制一奇一偶，有相似的方法判断即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
int n;
LL gcd(LL x,LL y)
{
	LL r;
	while (y) {
		r=x%y;
		x=y; y=r;
	}
	return x;
}
int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		LL x,y,a,b;
		scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&x,&y);
		LL d=gcd(2*a,2*b);
		bool pd=false; 
		if(x%d==0&&y%d==0) pd=true;
		if((x+a)%d==0&&(y+b)%d==0) pd=true;
		if ((x+b)%d==0&&(y+a)%d==0) pd=true;
		if ((x+a+b)%d==0&&(y+a+b)%d==0) pd=true;
		if (pd) printf("Y\n");
		else printf("N\n");
	}
}