【VRP问题】基于模拟退火算法结合LNS解决VRP问题的matlab代码

原创于 2025-11-11 21:20:54 发布 · 1k 阅读

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#模拟退火算法 #matlab #算法

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🔥 内容介绍

1. 问题背景：车辆路径规划问题 (VRP)

VRP 问题描述：已知一个配送中心（Depot）和一组客户，客户有已知的需求。我们有一组车辆，每辆车有固定的容量和最大行驶距离限制。目标是找到一组路径，使得：

每辆车从配送中心出发，服务一系列客户后返回配送中心。
每个客户被 exactly 一辆车服务。
所有车辆的总行驶距离（或成本）最小。
满足车辆容量和最大行驶距离等约束。

VRP 是一个经典的 NP-hard 组合优化问题，对于大规模实例，精确算法（如分支定界法）往往不可行，必须依赖高效的启发式或元启发式算法。

2. 核心算法原理

2.1 模拟退火算法 (SA)

SA 是一种基于物理退火过程的随机优化算法。它的核心特点是：

接受较差解
：在迭代初期，算法不仅接受更优的解，还以一定概率接受较差的解。这个概率随着 “温度” 的降低而减小。
全局收敛性
：理论上，如果温度下降足够慢，SA 可以收敛到全局最优解。

SA 在 VRP 中的应用步骤：

初始化
：生成一个初始解 S，计算其成本 cost(S)。设置初始温度 T0，冷却系数 α，终止温度 Tf。
迭代
：当 T > Tf 时：a. 生成邻域解：对当前解 S 进行一个小的扰动，生成一个新解 S'。b. 计算成本差：Δcost = cost(S') - cost(S)。c. 接受准则：
- 如果 Δcost < 0 (新解更优)，则接受 S' 作为当前解。
- 如果 Δcost > 0 (新解更差)，则以概率 exp(-Δcost / T) 接受 S'。d. 降温：T = T * α。
终止
：当温度降到 Tf 以下时，算法终止，返回找到的最优解。

传统 SA 在 VRP 中的挑战：

如何定义 “小的扰动” 以生成有效的邻域解，同时保证搜索的多样性，是一个关键但棘手的问题。如果邻域太小，搜索会陷入局部最优；如果邻域太大，接受较差解的概率过高，效率低下。

2.2 大邻域搜索 (LNS)

LNS 是一种强大的局部搜索算法，特别适合解决 VRP 等组合优化问题。它的核心思想是：

破坏 (Destroy)
：随机或有策略地从当前解中移除一部分客户。
修复 (Repair)
：使用一个高效的启发式算法（如贪心插入、 regret 插入等）将被移除的客户重新插入到解中，形成一个新的完整解。

LNS 的 “大邻域” 体现在：一次破坏和修复操作会改变解的很大一部分，从而有机会跳出局部最优解，探索更广阔的解空间。

3. SA 与 LNS 的结合策略 (SA-LNS)

将 SA 和 LNS 结合的思路非常自然：用 SA 的框架来控制 LNS 的搜索过程。

解的表示：
- 与标准 VRP 相同，通常表示为一系列路径，例如 [[0, 2, 5, 0], [0, 1, 3, 4, 0]]，其中 0 代表配送中心。
初始解：
- 使用一个简单的构造性启发式算法（如贪心插入法或最近邻法）生成一个初始可行解 S_current。
模拟退火循环：a. 设置初始温度 T：
- 破坏 (Destroy)
  ：从当前解 S_current 中随机移除 k 个客户。k 可以是固定的，也可以是动态变化的（例如，总客户数的 5% 到 20%）。
- 修复 (Repair)
  ：使用 ** regret-2 插入算法 **（一种高效的修复策略）将这 k 个客户重新插入到当前解中，生成一个新解 S_candidate。ii. 计算成本：
- 计算新解 S_candidate 的总成本 cost_candidate。iii. Metropolis 接受准则：
- 计算成本差 Δcost = cost_candidate - cost(S_current)。
- 如果 Δcost < 0：接受新解，即 S_current = S_candidate。
- 如果 Δcost > 0：以概率 exp(-Δcost / T) 接受新解。如果随机生成的一个 [0,1] 之间的数小于该概率，则 S_current = S_candidate。iv. 更新最优解：
- 如果 cost(S_current) 优于当前找到的最优解 S_best，则更新 S_best。v. 降温：
- T = T * α
  ，其中 α 是冷却系数（例如 α=0.99）。
- 初始温度可以通过对初始解进行多次随机扰动，计算平均成本差 Δcost_avg，然后令 T0 = -Δcost_avg / ln(p) 来确定，其中 p 是初始时接受较差解的概率（例如 p=0.8）。b. 迭代直至 T 降至 Tf：i. 大邻域搜索 (破坏与修复)：
输出结果：
- 算法终止后，输出找到的最优解 S_best。