【机械】求解具有固定支撑和牵引边界条件的单个四边形单元域的matlab代码

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🔥 内容介绍

本文探讨利用有限元法求解具有固定支撑和牵引边界条件的单个四边形单元域的位移和应力场。针对该特定简化模型，我们将详细阐述其单元刚度矩阵的推导过程，并结合具体实例，展示如何施加边界条件并最终获得数值解。 由于仅考虑单个四边形单元，该分析忽略了单元间相互作用的影响，旨在为理解有限元法的基本原理提供一个清晰的框架。

一、 单元插值函数与应变-位移关系

我们采用双线性插值函数来描述四边形单元内的位移场。设单元四个节点的坐标分别为 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), (x₄, y₄)，对应的节点位移为 (u₁, v₁), (u₂, v₂), (u₃, v₃), (u₄, v₄)。则单元内任一点 (x, y) 的位移 (u, v) 可表示为：

u(x, y) = N₁(x, y)u₁ + N₂(x, y)u₂ + N₃(x, y)u₃ + N₄(x, y)u₄

v(x, y) = N₁(x, y)v₁ + N₂(x, y)v₂ + N₃(x, y)v₃ + N₄(x, y)v₄

其中，Nᵢ(x, y) (i = 1, 2, 3, 4) 为形函数，其具体表达式可根据四边形单元的坐标系进行推导。常用的方法包括等参单元法，利用自然坐标系简化计算。此处，我们采用自然坐标 (ξ, η) ∈ [-1, 1] × [-1, 1]，形函数可表示为：

N₁(ξ, η) = (1-ξ)(1-η)/4
N₂(ξ, η) = (1+ξ)(1-η)/4
N₃(ξ, η) = (1+ξ)(1+η)/4
N₄(ξ, η) = (1-ξ)(1+η)/4

根据位移场，可以推导出平面应变或平面应力问题的应变-位移关系。对于平面应变问题，应变分量 εₓ, εᵧ, γₓᵧ 可表示为：

εₓ = ∂u/∂x
εᵧ = ∂v/∂y
γₓᵧ = ∂u/∂y + ∂v/∂x

将位移插值函数代入上式，并利用雅可比矩阵将自然坐标系下的导数变换到笛卡尔坐标系下，即可得到应变与节点位移的关系矩阵。

二、 单元刚度矩阵的推导

单元的势能 Π 可以表示为应变能与外力势能之和。最小化势能原理是有限元法的核心思想。通过对势能进行变分，并利用伽辽金法或虚功原理，可以得到单元刚度矩阵 [K] 和节点力向量 {F}。其基本方程为：

[K]{d} = {F}

其中，{d} 为节点位移向量，包含所有节点的 x 和 y 方向位移。单元刚度矩阵 [K] 的计算涉及到应力-应变关系 (本构关系)，材料属性 (例如杨氏模量 E 和泊松比 ν)以及单元积分。积分通常采用高斯积分法进行数值计算。由于本例仅涉及单个单元，积分区域简化为单元本身。

三、 边界条件的施加

在本问题中，存在固定支撑和牵引边界条件。固定支撑条件表示节点位移已知，通常为零。在刚度矩阵方程中，这可以通过直接修改刚度矩阵和节点力向量来实现。例如，如果节点 i 的 x 方向位移 uᵢ = 0，则可以将刚度矩阵 [K] 的第 i 行和第 i 列置零，并将对角线元素 Kᵢᵢ 设置为一个很大的值 (例如 10¹⁰)，同时将节点力向量 {F} 的第 i 个元素置零。

牵引边界条件表示在单元边界施加一定的力。该力可以转化为等效节点力，并添加到节点力向量 {F} 中。牵引力的计算需要考虑边界上的面积和应力分布。

四、 数值解的求解与结果分析

在施加边界条件后，可以求解线性方程组 [K]{d} = {F}，得到节点位移向量 {d}。根据节点位移，利用插值函数即可得到单元内任意点的位移场。进一步，结合应变-位移关系和本构关系，可以计算单元内的应力场。

最终结果可以以图形化的方式呈现，例如位移云图和应力云图，直观地展示单元内部的位移和应力分布。 通过分析这些结果，我们可以评估结构的强度和稳定性，以及边界条件对单元的影响。

五、 结论

本文详细阐述了利用有限元法求解具有固定支撑和牵引边界条件的单个四边形单元域的方法。 通过对单元插值函数、应变-位移关系、单元刚度矩阵的推导以及边界条件的施加，我们可以得到单元内的位移和应力场。 该分析为理解有限元法的基本原理提供了一个简化的模型，为进一步研究更复杂的工程问题奠定了基础。 然而，需要强调的是，该分析仅限于单个单元，忽略了单元间相互作用的影响，实际工程问题的求解需要采用更高级的有限元软件和更复杂的单元划分。 未来的研究可以扩展到多单元分析，并考虑更复杂的材料模型和边界条件。

📣 部分代码

%{

This function computes the stiffness function for using numerical

integraion for bilinear quadrilateral elements. It requires values of zeta,

eta, global coordinates of nodes of the quadrilateral element, and D_matrix

(contains material properties)

%}

function [result] = k_function(zeta_val, eta_val, x, y, D_matrix)

local_coords = [-1, -1;1, -1;1, 1;-1, 1 ];

%construction of shape functions for bilinear quadrilatera element using

%isoparametric formulation

syms zeta eta

obian matrix

J_inverse = inv(J_matrix);

%computation of A matrix

A_matrix = sym(zeros(4));

A_matrix(1, 1) = J_inverse(1,1);

A_matrix(1, 2) = J_inverse(1,2);

A_matrix(2, 1) = J_inverse(2,1);

A_matrix(2, 2) = J_inverse(2,2);

A_matrix(3, 3) = J_inverse(1,1);

A_matrix(3, 4) = J_inverse(1,2);

A_matrix(4, 3) = J_inverse(2,1);

A_matrix(4, 4) = J_inverse(2,2);

%computation of G matrix

G_matrix = sym(zeros(4,8));

for i = 1:4

    if i == 1

        k = 1;

        for j = 1:8

            if rem(j,2) == 1

                G_matrix(i, j) = diff_N(k,1);

                k = k + 1;

            end

        end

    end

    

    if i == 2

        k = 1;

        for j = 1:8

            if rem(j,2) == 1

                G_matrix(i, j) = diff_N(k,2);

                k = k + 1;

            end

        end

    end

    

    if i == 3

        k = 1;

        for j = 1:8

            if rem(j,2) == 0

                G_matrix(i, j) = diff_N(k,1);

                k = k + 1;

            end

        end

    end

    

    if i == 4

        k = 1;

        for j = 1:8

            if rem(j,2) == 0

                G_matrix(i, j) = diff_N(k,2);

                k = k + 1;

            end

        end

    end

end

% initialization of C matrix

C_matrix = [1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1; 0, 1, 1, 0];

% computation of B matrix

B_matrix =  C_matrix * A_matrix * G_matrix;

%computation of stiffness function

stiffness = det(J_matrix) * B_matrix' * sym(D_matrix) * B_matrix;

k_array = subs(stiffness, {zeta, eta, x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4}, {zeta_val, eta_val, x(1), x(2), x(3), x(4), y(1), y(2), y(3), y(4)} );

result = double(k_array);

end

⛳️ 运行结果

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🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

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🌈 路径规划方面

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