【Koopman】遍历论、动态模态分解和库普曼算子谱特性的计算研究附Matlab代码

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🔥 内容介绍

一、理论基石：遍历论为 Koopman 算子奠定数学根基

遍历论作为研究动力系统长期行为的核心分支，为 Koopman 算子的本质分析提供了三大关键支撑：

1. 核心概念的深度绑定

遍历性强调系统长时间演化中 “时间平均替代空间平均” 的特性，而 Koopman 算子的不变性恰与遍历论中的不变测度高度契合 —— 不变测度在系统演化下保持稳定，直接决定了 Koopman 算子作用于观测函数时的守恒特性。例如，在流体湍流等复杂系统中，Koopman 算子的不变子空间可通过遍历分区精准识别。

1. 谱特性的理论源头

Koopman 与冯・诺依曼的早期研究已揭示：算子的谱结构（离散 / 连续谱）直接对应系统的遍历性质 —— 离散谱常与周期模态相关，连续谱则对应混沌或混合行为。遍历论的平均遍历定理更成为谱测度矩估计的理论依据，可从单条轨迹中提取谱特性参数。

二、实现桥梁：动态模态分解（DMD）的数据驱动近似

三、核心目标：Koopman 算子谱特性的计算方法与挑战

1. 核心挑战与突破方向

• 维度灾难：高维系统的矩阵特征分解耗时巨大，需结合稀疏识别（如 SINDy）与 DMD 的混合建模策略；

• 非平稳性适配：时变系统的谱结构动态变化，最新研究通过乘法 DMD（MultDMD） 引入算子乘法约束，优化可观测量选择与矩阵逼近；

• 可解释性平衡：深度学习方法虽提升精度，但需结合符号回归生成显式动力学方程，避免 “黑箱” 问题。

四、应用与研究展望

三者的融合已在多领域展现巨大价值：

• 流体力学：DMD 分解湍流场 Koopman 模态，识别相干结构与能量传输路径；

• 控制工程：基于谱特性设计反馈控制器，实现混沌系统的稳定调控；

• 复杂系统预测：结合深度学习的 Koopman 嵌入，提升气候、神经科学等非平稳系统的预测精度。

未来研究需聚焦三大方向：一是建立遍历性与谱特性的定量映射关系，二是开发低数据成本的谱计算方法，三是实现高维系统的实时谱分析与控制。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 彭辉.基于动态模态分解的几类应用研究[D].郑州大学[2025-10-22].

[2] 洪菁菁.基于频谱分解方法的锂离子电池RUL预测[D].华中科技大学[2025-10-22].

[3] 唐丽.基于数据驱动建模的高速列车速度控制研究[D].兰州交通大学[2025-10-22].

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