28、鼠标对与苏斯林基数相关研究

鼠标对与苏斯林基数相关研究

1. 苏斯林基数与鼠标对的关联猜想

我们猜测所有的苏斯林基数都与鼠标对相关。提出如下猜想：
假设 AD + NLE，设 κ 为苏斯林基数，则：
- 存在纯扩张器对 (P, Σ) 使得 κ = |τ∞(P, Σ)|，或者 (P, Σ) 有顶部块且 κ = |β∞(P, Σ)|。
- 存在最小分支对 (P, Σ) 使得 κ = |τ∞(P, Σ)|，或者 (P, Σ) 有顶部块且 κ = |β∞(P, Σ)|。

当 κ 是射影序数时，第一部分已知成立。我们相信对于射影的 κ，第二部分也成立，但尚未有完整证明。更易处理的版本是：LEC 蕴含第一部分，HPC 蕴含第二部分。

2. 点类相关定义与定理

2.1 点类相关术语定义

设 ∆ 为点类，有以下定义：
- ∆ 是强闭的，当且仅当 ∆ 在补运算和实量词下封闭，且在 ≤w 下向下封闭。
- ∆ |= “A 是苏斯林的”，当且仅当 A 允许一个尺度 ⃗φ 使得 {(n, x, y) | φn(x) ≤ φn(y)} ∈ ∆。
- ∆ |= HPC，当且仅当只要 ∆ |= “A 是苏斯林的”，则对于某个 lbr hod 对 (P, Σ) 且 Code(Σ) ∈ ∆，有 A ≤w Code(Σ)。类似地定义 ∆ |= LEC。

若 ∆ 是强闭的，其瓦奇序数、预良序序数和 ∆ 良基关系长度的上确界都相同，记为 o(∆)。则 ∆ |= “A 是苏斯林的” 当且仅当 A 是某个 κ < o(∆) 的 κ - 苏斯林集，∆ |= “所有集合都是苏斯林的” 当且仅当 o(∆) 是苏斯林基数的极限