29、鼠标对与苏斯林基数：HOD 与索洛维序列的深入探究

鼠标对与苏斯林基数：HOD 与索洛维序列的深入探究

在集合论的研究中，对 HOD（遗传序数可定义集）以及索洛维序列的研究是一个重要的方向。本文将围绕相关定理和引理，深入探讨鼠标对与苏斯林基数之间的关系，以及它们在刻画 HOD 和索洛维序列中的作用。

引理 5.9 与定理 5.7 的证明

首先，我们关注迭代过程中内部谓词的正确性。Φ - 迭代能正确移动 S 对于 Λ 的内部谓词，这是因为 Σ∗ 迭代（临界点 > o(R)）能正确移动 Λ ∩ N ∗，再根据相关提升映射的强壳凝聚性，Υ - 迭代（在 o(R) 之上）能正确移动 K 对于 Λ 的谓词，同理，Q 的 Ψ 迭代（必然在 o(R) 之上）能正确移动 Q 对于 Λ 的谓词。由此可知，MU∗b 的内部 Λ - 谓词是正确的。

接着，S 有关于 ΛW,R1 的项，且由于 Λ = (ΛW,R1)i（通过拉回一致性），所以 S 有关于 Λ ∩ S[g] 的项。

现在来完成引理 5.9 的证明。设 S 是 Q 通过 Ψ 得到的 R - 泛型迭代，迭代映射为 i: Q → S。存在 g 是 Col(ω, < λS) - 泛型于 S，使得 R = R∗g（R∗g 是对称坍缩的实数）。利用 i(⟨τ Qk | k < ω⟩) 和断言 5，可知 Λ ∈ S(R∗g)，且在 S(R∗g) 中可由 S 中的参数定义。进而，M∞(R, Λ) 和直极限映射 π: R → M∞(R, Λ) 也在 S(R∗g) 中且可由 S 中的参数定义。若 π(⟨ξ,0, γ0⟩) = ⟨ξ, γ⟩，则 ξ ∈ AR 当且仅当 L(Code(Λ, R) |= φ[α, π(ξ0), π(γ0)]。由 Col(ω, < λS)