18、数理逻辑中的若干定理与概念解析

数理逻辑中的若干定理与概念解析

在数理逻辑的研究中，有许多重要的定理和概念，它们相互关联，共同构成了这一领域的理论体系。下面我们将对其中的一些关键内容进行详细解析。

1. 通用∞ - 代码的连接操作

存在一种对通用∞ - 代码的良序序列进行自然连接的操作，使得连接后的结果是该序列中各成员所编码集合之并集的通用∞ - 代码。具体构造如下：
设ζ为一个序数，⟨Cα : α < ζ⟩是一个通用∞ - 代码序列，其中每个Cα = (Pα, Bα, τα)。该序列的连接结果是一个通用∞ - 代码 (P, B, τ)，其中：
- P 是所有 Pα 的不相交并集，并通过配对函数转换为一个序数上的偏序。
- P - 名字 τ 由 P 中各个 Pα 部分的 τα 副本的并集构成。
- 每个 Bα 中的成员被复制到 P 的 Pα 部分，然后平凡地扩展到 P 的其他部分以形成一个稠密开集，B 则是所有这些稠密开集的集合。

定理 9.8 表明，在适当形式的序数确定性下，这种连接操作能保持强通用代码。该定理用于证明定理 10.2，定理 10.2 指出在 AD + 条件下，苏斯林基数集在 Θ 之下是封闭的。

定理 9.8：(ZF + DCR) 设 κ 是 Θ 之下的一个无限基数，且 κ - 确定性成立，设 ¯C = ⟨Cα : α < κ⟩ 是一个强 κ - 代码序列。那么 ¯C 的连接结果是 ⋃α<κ ACα 的强通用 κ - 代码。

2. 苏斯林基数

苏斯林基数是一个序数 γ，对于它存在一个 A ⊆ ωω，使得 A 是 γ - 苏斯林的，但对于任何 η < γ，A 不是 η -