4、多值逻辑中的证明系统与模态化逻辑

多值逻辑中的证明系统与模态化逻辑

1. 多位置序列与相关定理

1.1 多位置序列的赋值与证明

在多位置序列的研究中，定义了一个赋值函数 (v)，其规则如下：
[
v(p) =
\begin{cases}
t & \text{if } p \notin \Gamma’ \
m & \text{if } p \notin \Delta’ \
f & \text{if } p \notin \Lambda’ \
t & \text{otherwise}
\end{cases}
]
假设 (v) 是良定义的。通过对树 (\xi) 的节点进行归纳证明，每个多序列 (\Gamma’|\Delta’|\Lambda’ \in \xi) 都不被 (v) 满足。具体分为以下几种情况：
- 情况 0 ：当 (\Gamma’|\Delta’|\Lambda’) 处于 (\xi) 的叶节点时，根据假设和 (v) 的定义，(v \not\models \Gamma’|\Delta’|\Lambda’)。
- 情况 1 ：若 (\Gamma’|\Delta’|\Lambda’ = \Gamma’‘, \neg A|\Delta’|\Lambda’ \in \xi)，则 (\xi) 有一个直接子节点包含 (\Gamma’‘|\Delta’|A, \Lambda’)。由归纳假设，若 (v \not\models \Gamma’‘|\Delta’|A, \Lambda’)，即 (v(A) \neq f)，那么 (v(