48、布料模拟与行走合成算法技术解析

布料模拟与行走合成算法技术解析

1. 布料模拟中的预条件器应用

布料模拟是一个复杂的过程，涉及多个方面。其中，求解线性方程组是推动模拟器前进一个时间步的关键。这个方程组的推导需要考虑内部力及其导数的具体情况，同时模拟过程中还会施加各种软、硬约束，碰撞检测与解决也是重要的研究领域。

在布料模拟中，预条件器起着非常重要的作用，它可以大大加速数值方法的收敛。这里主要研究了几种预条件方法，以加速预条件共轭梯度求解器的速度。

1.1 预条件共轭梯度求解器

预条件共轭梯度方法的输入包括：
- 对称半正定矩阵 A
- 与 A 维度相同的对称正定预条件矩阵 P
- 向量 b

该算法迭代求解线性方程组 Ax = b，当 |b - Ax| < ϵ|b| 时停止迭代，其中 ϵ 是用户定义的容差。预条件矩阵 P 必须易于求逆，其加速收敛的程度取决于 P⁻¹ 对 A 的近似程度。

以下是预条件共轭梯度求解器的算法：

Procedure Preconditioned Conjugate Gradient Solver(A, x, b, P, ϵ)
Input: A: Left hand side of linear system of equations Ax = b.
Input: x: Input constraint.
Input: b: Right hand side of linear system of equations Ax = b.
Input: P: Preconditioner
Input: ϵ: M