29、小波变换：从滤波器组到正交小波基

小波变换：从滤波器组到正交小波基

1. 基础理论与定理

1.1 定理 6.8

设 $\varphi(t) \in L^1 \cap L^2$，且 $\int \varphi(t) dt \neq 0$，$\varphi(t) = \sum_{n} g_s(n) \varphi(t - n)$，$\sum_{n} |g_s(n)| < \infty$。若对于某些 $a > 0$ 和 $b < \infty$ 满足特定条件（不同于正交归一条件），则有以下结论：
- ${\varphi(t - n)}$ 是其张成空间闭包 $V_0$ 的 Riesz 基。
- $\varphi(t)$ 生成多分辨率分析。即定义空间 $V_k$ 为 ${2^{k/2} \varphi(2^k t - n)}$ 张成空间的闭包时，空间集 ${V_k}$ 满足多分辨率分析定义中的六个条件。

若通过傅里叶变换定义新函数 $\hat{\varphi}(t)$ 为：
[
\hat{\Phi}(\omega) = \frac{\Phi(\omega)}{\sqrt{\sum_{k} |\Phi(\omega + 2\pi k)|^2}}
]
则 $\hat{\varphi}(t)$ 生成正交多分辨率分析，并满足类似的伸缩方程。进而可以定义相应的小波函数 $\hat{\psi}(t)$，该小波函数为 $L^2$ 空间生成正交小波基。需要注意的是，若起始的 $\varphi(t)$ 具有紧支撑，得到的小波基不一定具有紧支撑。

1.2 示例：Battle - Lemarié 正交小波

考虑一个三角型