35、小波变换中的正交小波基与无限乘积收敛性

小波变换中的正交小波基与无限乘积收敛性

1. 定理 6.8 相关内容

在某些条件下，即当 $\sum_{n} |g_s(n)|^2 < \infty$，且存在 $a > 0$ 和 $b < \infty$ 使得特定条件（6.108）成立时，有以下重要结论：
- ${\varphi(t - n)}$ 是其张成空间闭包 $V_0$ 的 Riesz 基。
- $\varphi(t)$ 能够生成多分辨率分析。具体而言，若定义空间 $V_k$ 为 ${2^{k/2}\varphi(2^k t - n)}$ 张成空间的闭包，那么 ${V_k}$ 满足多分辨率分析定义中的六个条件。

如果通过傅里叶变换（FT）定义一个新函数 $\hat{\varphi}(t)$ 为 $\hat{\Phi}(\omega) = \left(\sum_{k} |\Phi(\omega + 2k\pi)|^2\right)^{0.5}$，则 $\hat{\varphi}(t)$ 会生成正交多分辨率分析，并且满足类似于（6.84）的伸缩方程。基于此，我们可以按照常规方式定义相应的小波函数 $\hat{\psi}(t)$，即若 $\hat{\varphi}(t) = 2\sum_{n} g_s(n)\hat{\varphi}(2t - n)$，则选择 $\hat{\psi}(t) = 2\sum_{n} h_s(n)\hat{\varphi}(2t - n)$，其中 $h_s(n) = (-1)^{n + 1}g_s^*(-n - 1)$。这个小波函数 $\hat{\psi}(t)$ 会为 $L^2$ 空间生成一个正交小波基。不过需要注意的是，如果初始的 $\varphi(t)$ 是紧支撑的，生成的正交