16、小波变换：原理、应用与优势

小波变换：原理、应用与优势

1. 双正交小波变换

1.1 双正交小波的特性

正交且具有紧支撑特性的Daubechies小波族，除了对应Haar小波基的第一个小波外，都会失去对称性。而对称性很有用，它能保证滤波器系数的对称性，进而确保传递函数的线性。双正交小波族则是一类利用了紧支撑对称性的基函数，在不损失紧支撑特性的情况下，可恢复对称性，且无需正交性。

1.2 双正交小波的函数与系数

对于正交小波，使用两个尺度函数(\psi(x))、(\tilde{\psi}(x))和两个小波函数(\varphi(x))、(\tilde{\varphi}(x))。一个小波基用于分解（分析阶段），另一个用于重建（合成阶段）。尺度函数和小波函数是对偶的，小波族(\varphi_{sl}(x))、(\tilde{\varphi} {sl}(x))是双正交的，即(<\psi {s,l}(x), \tilde{\psi} {m,n}(x)> = \delta {s,m}\delta_{l,n}) ，其中(\delta)是两个变量的Kronecker delta函数。

一维信号(f(x))的双正交小波变换系数通过以下方式获得：
(FBW1(s,l) = )
(FBW2(s,l) = )

信号(f(x))的重建如下：
(f(x) = \sum_{s,l}FBW1\psi_{s,l}(x) = \sum_{s,l}FBW2\tilde{\psi}_{s,l}(x))

1.3 滤波器的生成

一维双正交小波变换需要两个离散