19、小波变换：从多分辨率分析到正交小波基

小波变换：从多分辨率分析到正交小波基

1. 多分辨率分析与Riesz基

在信号处理领域，多分辨率分析是一种强大的工具，它能够帮助我们从不同的尺度和分辨率来观察信号。当满足一定条件时，我们可以得到形如 ${\phi(t - n)}$ 的Riesz基。具体来说，如果对于某些 $a > 0$ 和 $b < \infty$ 满足特定不等式，那么 ${\phi(t - n)}$ 就是其张成空间 $V_0$ 的闭包的Riesz基。

下面的定理总结了相关主要结果：
定理6.8 ：设 $\phi(t) \in L^1 \cap L^2$，$\int \phi(t)dt \neq 0$（即 $\Phi(0) \neq 0$），且 $\psi(t) = 2 \sum_n g_s(n)\psi(2t - n)$，其中 $\sum_n |g_s(n)|^2 < \infty$。若用另一个不等式（6.108）代替正交性条件（6.107），且对于某些 $a > 0$ 和 $b < \infty$ 成立，则有以下结论：
1. ${\phi(t - n)}$ 是其张成空间 $V_0$ 的闭包的Riesz基。
2. $\psi(t)$ 生成多分辨率。即若定义空间 $V_k$ 为 ${2^{k/2}\phi(2^k t - n)}$ 张成空间的闭包，则空间集 ${V_k}$ 满足多分辨率定义中的六个条件。

如果我们通过其傅里叶变换定义一个新函数 $\tilde{\phi}(t)$ 为：
$$\tilde{\Phi}(\omega) = \frac{\Phi(\omega)}{(\sum_k |\Phi(\om