36、小波变换：从基础到高级特性

小波变换：从基础到高级特性

1. 正交小波基与紧框架

在小波变换的研究中，为双通道滤波器组设计的滤波器在区域 $[–0.5\pi, 0.5\pi]$ 内无零点。Cohen 证明了更强的结果，他推导了有限长单位模（FIR paraunitary）滤波器组生成正交小波基的充要条件。其分析结果之一是，定理 6.13 中的第四个条件可被更宽松的条件替代，即 $G_s(e^{j\omega})$ 在 $[–\pi/3, \pi/3]$ 内不为零。在实际应用中，获得正交小波基的条件很容易满足。当第四个条件不成立时，主要具有理论研究价值，Lawton 的紧框架定理在此背景下是一个有吸引力的结果。

1.1 小波紧框架

当定理 6.13 的第四个条件被违反时，由单位模滤波器组生成的小波函数 ${2^{k/2} \psi(2^{k} t - n)}$ 可能无法构成正交基，但这些函数总能为 $L^2$ 空间形成一个紧框架。因此，任何 $L^2$ 函数都可以表示为 ${2^{k/2} \psi(2^{k} t - n)}$ 函数的无限线性组合。

定理 6.14 ：设 $G_s(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N} g_s(n)e^{-j\omega n}$ 是一个满足以下性质的滤波器：
1. $G_s(e^{j0}) = 1$
2. $\vert G_s(e^{j\omega})\vert^2 + \vert G_s(-e^{j\omega})\vert^2 = 1$（功率对称性）

则 $\varphi (t) \in L^2$。按式 (6.93) 定义小波函数 $\psi(t)$