二叉树的初阶笔记

目录

一.树的概念及结构

二.二叉树的概念及结构

1.基本概念及性质

2.堆的构建及应用

3.链式结构

---

一.树的概念及结构

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示方法：孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

---

二.二叉树的概念及结构

1.概念（如下图）

（1）. 二叉树不存在度大于2的结点
（2）. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注：特殊的二叉树： 

（1）. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
（2). 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps： 是log以2
为底，n+1为对数)

---

2.二叉树的顺序结构（堆）

堆的向下调整算法

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

 

 建队方式（向下调整方式建队）时间复杂度o（N）;

堆的插入：向上调整算法

堆的删除：向下调整算法

---

重点（堆排序）

1.先在原数组上建堆

2.升序建大堆，降序建小堆

3.将堆顶元素与堆尾互换，再向下调整

代码实现如下：

#include<stdio.h>

void swap(int*a, int*b)
{
	int temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

void AdjustDown(int*arr, int sz, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < sz)
	{
		if (child+1<sz&&arr[child + 1]>arr[child])
		{
			child++;
		}
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}

	}

}


void heap_sort(int*arr, int sz)
{
	//对原数组建堆
	//升序：建大堆
	int i = 0;
	for (i = (sz - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, sz, i);
	}

	//对堆进行升序操作
	int end = sz - 1;//堆尾下标
	while (end > 0)
	{
		//交换堆顶堆尾
		swap(&arr[0], &arr[end]);
		//向下调整，将次大的树调整的堆顶
		AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}
}

int main()
{
	int arr[] = { 2,3,1,4,0,6,5,7,8,9 };
	heap_sort(arr, sizeof(arr) / sizeof(int));
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(int);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sz; i++)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}

 

---

TOP-K问题

即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
比特就业课
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

代码如下：

int* heap_topk(int*arr, int sz, int k)
{

	//对数组中前K个元素建队
	
	//开辟一段堆空间
	int*heap_space = (int*)malloc(sizeof(int)*k);

	//将数组前四个元素放入堆中
	int i = 0;
	for (i = 0; i < k; i++)
	{
		heap_space[i] = arr[i];
	}

	//建小堆
	i = 0;
	for (i = (k - 2) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(heap_space, k, i);
	}

	//比较堆顶元素和数组其他元素
	int j = 0;
	for (j = k; j < sz;j++)
	{
		if (heap_space[0] < arr[j])
		{
			heap_space[0] = arr[j];
			AdjustDown(heap_space, k, 0);
		}
	}
	return heap_space;
}

---

3.链式结构的实现 

//创建节点

TreeNode* BuyNewnode(SLTDataType x)
{
	TreeNode*newnode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
	assert(newnode);
	newnode->data = x;
	newnode->left =NULL;
	newnode->right = NULL;
}

//构建二叉树

TreeNode*Creat_Binary()
{
	TreeNode*node1 = BuyNewnode(1);
	TreeNode*node2 = BuyNewnode(2);
	TreeNode*node3 = BuyNewnode(3);
	TreeNode*node4 = BuyNewnode(4);
	TreeNode*node5 = BuyNewnode(5);
	TreeNode*node6 = BuyNewnode(6);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;
	return node1;
}

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	printf("%d ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

// 二叉树中序遍历
void InOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}


// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(TreeNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}


// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL&&root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
	
}


// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(TreeNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}



// 二叉树查找值为x的节点
TreeNode* BinaryTreeFind(TreeNode* root, SLTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}
	TreeNode*leftret = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (leftret)
		return leftret;
	TreeNode*rightret = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (rightret)
		return rightret;

	return NULL;
}


//二叉树的高度
int BinaryTreeHight(TreeNode*root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	int lefthigh = BinaryTreeHight(root->left);
	int righthigh = BinaryTreeHight(root->right);

	return lefthigh > righthigh ? lefthigh + 1 : righthigh + 1;
}

void DestBinaryTree(TreeNode*root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}

	DestBinaryTree(root->left);
	DestBinaryTree(root->right);
	free(root);






}