第三章 微分中值定理与导数的应用 第七节 曲率

第七节 曲率

一、弧微分

\quad $M_0(x_0,y_0)$ 作为度量弧长的基点，$x$ 增大的方向作为正向.
\quad 对任一点 $M(x,y)$，规定有向弧段 $\overgroup{M_{0}M}$ 的弧长值为 $s$，即 $s=s(x).$
\quad $s(x)$ 是 $x$ 的单调增加函数.
\quad 设 $x,x+\Delta x$ 为 $(a,b)$ 内两个邻近的点，对应的点分别是 $M,M^{\prime }$，并设 $x$ 的增量为 $\Delta x$，$s$的增量是 $\Delta s$,那么
$$\Delta s=\overgroup{M{M}^{\prime }}.$$于是
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)}^2& ={\left(\frac{\overgroup{M{M}^{\prime }}}{\Delta x}\right)}^2={\left(\frac{\overgroup{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{|M{M}^{\prime }{|}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & ={\left(\frac{\overgroup{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & ={\left(\frac{\overgroup{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}{(\Delta x{)}^2}\\ & ={\left(\frac{\overgroup{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \left[1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2\right]\end{array}\end{array}$$
$$\frac{\Delta s}{\Delta x}=\pm \sqrt{{\left(\frac{\overgroup{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \left[1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2\right]}.$$

令 $\Delta x\to 0$ 取极限，$$\underset{M^{\prime }\to M}{\lim }\frac{|\overgroup{M{M}^{\prime }}|}{|M{M}^{\prime }|}=1,又\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=y^{\prime },$$因此$$\frac{\text{d}s}{\text{d}x}=\pm \sqrt{1+{y^{\prime }}^2}.$$由于 $s=s(x)$ 是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有$$\text{d}s=\sqrt{1+{y^{\prime }}^2}\text{d}x.$$

即微弧分公式.

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二、曲率及其计算

平均曲率
$$\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|.$$
曲率
$$K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|$$

曲率 $K$ 计算公式$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$设曲线由参数方程
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{r}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}\end{array}$$
利用参数方程所确定的函数求导法，求出 $y_x^{\prime }$ 及 $y_x^{\prime \prime }$ 得
$$K=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{[{{\phi }^{\prime }}^2(t)+{{\psi }^{\prime }}^2(t){]}^{3/2}}.$$

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三、曲率圆与曲率半径

曲率圆特征

1. 与曲线上的点 $M$ 有相同的切线和曲率；
2. 在点 $M$ 邻近有相同凹向；
3. 半径为 $M$ 点处曲率倒数.

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四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线

当点 $(x,f(x))$ 沿曲线 $C$ 移动，相应的曲率中心 $D$ 的轨迹曲线 $G$ 称为曲线 $C$ 的渐屈线，而曲线 $C$ 称为曲线 $G$ 的渐伸线.

曲线 $y=f(x)$ 的渐屈线的参数方程
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}\alpha & =x-\frac{y^{\prime }(1+{y^{\prime }}^2)}{y^{\prime \prime }}\\ \beta & =y+\frac{1+{y^{\prime }}^2}{y^{\prime \prime }}\end{array}\end{array}$$
其中，$y=f(x),y^{\prime }=f^{\prime }(x),y^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }(x),x$为参数，直角坐标系 $\alpha O\beta$ 与 $xOy$ 坐标系重合.

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习题3-7