定理2.1

定理2.1

对于简单随机抽样，作为$\bar{Y}$的简单估计，$\hat{\bar{Y}}=y$是无偏的

$E(\bar{y})=\bar{Y}$

证明：

对于总体中每个单元$Y_i$,引入示性变量$a_i$
$$a_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{若}{Y}_i\text{入样}\\ 0& \text{若}{Y}_i\text{不入样}\end{array}$$
则$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^N{a}_i{Y}_i$

其中$Y_i$为常数，$a_i$是随机变量，所以：
$$E(\bar{y})=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^N{Y}_{i}E(a_i)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^N{Y}_i\frac{n}{N}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{Y}_i$$