引理2.1

引理2.1

从大小为$N$的总体中抽取一个样本量为$n$的简单随机样本，则总体中每个特定单元入样的概率为$\frac{n}{N}$,两个特定单元都入样的概率为：$\frac{n(n-1)}{N（N-1）}$.

证明：

从$N$个抽样单元中抽取$n$个样本共有$C_N^n$种可能，其中包含某个特定单元则有$C_1^1{C}_{N-1}^{n-1}$种可能，则某个特定单元入样的概率为：
$$\frac{C_1^1{C}_{N-1}^{n-1}}{C_N^n}=\frac{(N-1)!}{(n-1)!(N-n)!}\cdot \frac{n!(N-n)!}{N!}=\frac{n}{N}$$
其中两个特定单元同时入样有$C_2^2{C}_{N-2}^{n-2}$种可能，则两个特定单元同时入样的概率为：
$$\frac{C_2^2{C}_{N-2}^{n-2}}{C_N^n}=\frac{(N-2)!}{(n-2)!(N-n)!}\cdot \frac{n!(N-n)!}{N!}=\frac{n(n-1)}{N(N-1)}$$