网络流ISAP模板

本文详细介绍了ISAP算法的实现细节,包括整数流量版和长整数流量版的ISAP算法代码实现。通过具体的代码示例,展示了如何进行图的初始化、添加边、构建层次图等操作,并解释了算法的主要流程。

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//ISAP int
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define ll long long
#define MAXN 10005
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n;//实际建图点数(最好比图中总点数大一点)
struct Edge{
	int v,next;
	int cap,flow;
}edge[MAXN*100];
int cur[MAXN],pre[MAXN],gap[MAXN],path[MAXN],dep[MAXN];
int cnt=0;//实际存储总边数 
void init()
{
	cnt=0;
	memset(pre,-1,sizeof(pre)); 
}
void add(int u,int v,int w,int rw=0)//加边 有向图三个参数,无向图四个 
{
	edge[cnt].v=v;
	edge[cnt].cap=w;
	edge[cnt].flow=0;
	edge[cnt].next=pre[u];
	pre[u]=cnt++;
	edge[cnt].v=u;
	edge[cnt].cap=rw;
	edge[cnt].flow=0;
	edge[cnt].next=pre[v];
	pre[v]=cnt++;
}
bool bfs(int s,int t)//其实这个bfs可以融合到下面的迭代里,但是好像是时间要长 
{
	memset(dep,-1,sizeof(dep));
	memset(gap,0,sizeof(gap));
	gap[0]=1;
	dep[t]=0;
	queue<int>q;
	while(!q.empty())
	q.pop();
	q.push(t);//从汇点开始反向建层次图 
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=pre[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			int v=edge[i].v;
			if(dep[v]==-1&&edge[i^1].cap>edge[i^1].flow)//注意是从汇点反向bfs,但应该判断正向弧的余量
			{
				dep[v]=dep[u]+1;
				gap[dep[v]]++;
				q.push(v);
				//if(v==s)//感觉这两句优化加了一般没错,但是有的题可能会错,所以还是注释出来,到时候视情况而定 
				//break;
			}	
		}
	}
	return dep[s]!=-1; 
}
int isap(int s,int t)
{
	bfs(s,t);
	memcpy(cur,pre,sizeof(pre));
	int u=s;
	path[u]=-1;
	int ans=0;
	while(dep[s]<n)//迭代寻找增广路 
	{
		if(u==t)
		{
			int f=inf;
			for(int i=path[u];i!=-1;i=path[edge[i^1].v])//修改找到的增广路 
				f=min(f,edge[i].cap-edge[i].flow);
			for(int i=path[u];i!=-1;i=path[edge[i^1].v])
			{
				edge[i].flow+=f;
				edge[i^1].flow-=f;
			}
			ans+=f;
			u=s;
			continue;
		}
		bool flag=false;
		int v;
		for(int i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			v=edge[i].v;
			if(dep[v]+1==dep[u]&&edge[i].cap-edge[i].flow)
			{
				cur[u]=path[v]=i;//当前弧优化 
				flag=true;
				break;
			}
		}
		if(flag)
		{
			u=v;
			continue;
		}
		int x=n;
		if(!(--gap[dep[u]]))return ans;//gap优化 
		for(int i=pre[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			if(edge[i].cap-edge[i].flow&&dep[edge[i].v]<x)
			{
				x=dep[edge[i].v];
				cur[u]=i;//常数优化 
			}
		}
		dep[u]=x+1;
		gap[dep[u]]++;
		if(u!=s)//当前点没有增广路则后退一个点 
		u=edge[path[u]^1].v;
	 } 
	 return ans;
} 


//ISAP long long
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define ll long long
#define MAXN 10005
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
int n;//实际建图总点数(最好比图中总点数大一点)
struct Edge{
	int v,next;
	ll cap,flow;
}edge[MAXN*100];
int cur[MAXN],pre[MAXN],gap[MAXN],path[MAXN],dep[MAXN];
int cnt=0;//实际存储总边数 
void init()
{
	cnt=0;
	memset(pre,-1,sizeof(pre)); 
}
void add(int u,int v,ll w,ll rw=0)//加边 单向图三个参数  双向图四个 
{
	edge[cnt].v=v;
	edge[cnt].cap=w;
	edge[cnt].flow=0;
	edge[cnt].next=pre[u];
	pre[u]=cnt++;
	edge[cnt].v=u;
	edge[cnt].cap=rw;
	edge[cnt].flow=0;
	edge[cnt].next=pre[v];
	pre[v]=cnt++;
}
bool bfs(int s,int t)//其实这个bfs可以融合到下面的迭代里,但是好像是时间要长 
{
	memset(dep,-1,sizeof(dep));
	memset(gap,0,sizeof(gap));
	gap[0]=1;
	dep[t]=0;
	queue<int>q;
	while(!q.empty())
	q.pop();
	q.push(t);//从汇点开始反向建层次图 
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=pre[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			int v=edge[i].v;
			if(dep[v]==-1&&edge[i^1].cap>edge[i^1].flow)//注意是从汇点反向bfs,但应该判断正向弧的余量
			{
				dep[v]=dep[u]+1;
				gap[dep[v]]++;
				q.push(v);
				//if(v==s)//感觉这两句优化加了一般没错,但是有的题可能会错,所以还是注释出来,到时候视情况而定 
				//break;
			}	
		}
	}
	return dep[s]!=-1; 
}
ll isap(int s,int t)
{
	bfs(s,t);
	memcpy(cur,pre,sizeof(pre));
	int u=s;
	path[u]=-1;
	ll ans=0;
	while(dep[s]<n)//迭代寻找增广路 
	{
		if(u==t)
		{
			ll f=inf;
			for(int i=path[u];i!=-1;i=path[edge[i^1].v])//修改找到的增广路 
				f=min(f,edge[i].cap-edge[i].flow);
			for(int i=path[u];i!=-1;i=path[edge[i^1].v])
			{
				edge[i].flow+=f;
				edge[i^1].flow-=f;
			}
			ans+=f;
			u=s;
			continue;
		}
		bool flag=false;
		int v;
		for(int i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			v=edge[i].v;
			if(dep[v]+1==dep[u]&&edge[i].cap-edge[i].flow)
			{
				cur[u]=path[v]=i;//当前弧优化 
				flag=true;
				break;
			}
		}
		if(flag)
		{
			u=v;
			continue;
		}
		int x=n;
		if(!(--gap[dep[u]]))return ans;//gap优化 
		for(int i=pre[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			if(edge[i].cap-edge[i].flow&&dep[edge[i].v]<x)
			{
				x=dep[edge[i].v];
				cur[u]=i;//常数优化 
			}
		}
		dep[u]=x+1;
		gap[dep[u]]++;
		if(u!=s)//当前点没有增广路则后退一个点 
		u=edge[path[u]^1].v;
	 } 
	 return ans;
} 


<think>好的,用户想了解网络流中的ISAP算法的实现和原理。首先,我需要回忆一下ISAP的基本概念。ISAP全称是Improved Shortest Augmenting Path,是对Dinic算法的一种优化。记得Dinic算法使用BFS分层,然后进行多路增广,但每次增广后需要重新BFS构建层次图,这可能效率不高。ISAP通过动态调整层次来减少BFS的次数,从而提高效率。 接下来,我需要确定ISAP的核心原理。根据引用[3]和[4],ISAP在回溯时更新节点的距离标号,而不是每次都重新BFS。这样,当某条路径无法继续增广时,算法会调整该节点的层次,使其距离标号增加1,从而在下一次寻找增广路径时直接使用新的层次结构,无需重新构建整个层次图。这应该减少了时间消耗。 然后,关于实现步骤,ISAP需要维护每个节点的距离标号d[u],即到汇点的最短距离。初始时通过BFS从汇点出发进行分层。之后,在DFS增广过程中,如果某个节点u的出边已经全部尝试过且没有增广路,就更新d[u]为所有邻接点d[v]的最小值加1。同时,还需要维护一个gap数组,用于处理断层情况,当某一层的节点数为0时,算法可以提前终止,因为此时不存在增广路径了。 在代码实现方面,需要用到邻接表来存储图结构,包括边的容量、流量、反向边等。DFS时,需要记录当前节点可用的最小残量,并递归寻找增广路径。回溯时更新距离标号,并检查gap情况。如果发现gap,立即终止算法。 可能需要注意的细节包括反向边的处理、距离标号的更新条件,以及gap数组的正确维护。此外,ISAP的时间复杂度为$O(n^2m)$,但在实际应用中通常比Dinic更快,因为减少了BFS的次数。 最后,用户可能还会关心ISAP的应用场景,比如在最大流问题中的表现,或者与其他算法如Edmonds-Karp、Dinic的对比。根据引用[1],网络流算法都基于增广路思想,而ISAP通过优化层次调整机制,提升了效率。需要确保引用的正确性,比如引用[3]和[4]提供了ISAP的原理和实现细节,而引用[1]和[2]则提供了算法背景和学习资源。</think>### 网络流 ISAP 算法原理及实现 #### 一、算法背景 ISAP(Improved Shortest Augmenting Path)是Dinic算法的优化版本,通过动态调整层次结构减少BFS次数,提升最大流求解效率[^3]。 #### 二、核心原理 1. **层次标号优化** - 维护每个节点到汇点$t$的最短距离标号$d[u]$,初始通过反向BFS(从$t$出发)计算。 - 增广过程中若节点$u$的出边无法继续增广,则更新$d[u] = \min\{d[v] + 1\}$($v$为$u$的邻接点),无需重构整个层次图[^4]。 2. **Gap优化** - 维护数组$gap[k]$记录层次为$k$的节点数量。 - 若某一层$k$的节点数变为$0$,说明图中出现断层,算法提前终止[^3]。 #### 三、实现步骤 1. **初始化** ```python def init(): # 反向BFS初始化层次标号d queue = deque([t]) d = {t: 0} while queue: u = queue.popleft() for edge in reverse_edges[u]: # 反向边遍历 if edge.v not in d: d[edge.v] = d[u] + 1 queue.append(edge.v) return d, gap_array ``` 2. **DFS增广** ```python def dfs(u, flow): if u == t: return flow used = 0 for edge in edges[u]: if edge.cap > 0 and d[u] == d[edge.v] + 1: pushed = dfs(edge.v, min(flow - used, edge.cap)) edge.cap -= pushed edge.rev.cap += pushed used += pushed if used == flow: return used # 回溯时更新层次标号 gap[d[u]] -= 1 if gap[d[u]] == 0: d[s] = INF # 触发Gap优化 d[u] = min(d[v] for v in adj[u] if edge.cap > 0) + 1 gap[d[u]] += 1 return used ``` 3. **主循环** ```python max_flow = 0 while d[s] < n: # n为节点总数 max_flow += dfs(s, INF) ``` #### 四、时间复杂度 - 理论复杂度为$O(n^2m)$,但实际效率接近$O(nm)$,优于Dinic算法[^3][^4]。 #### 五、应用场景 - 稠密图的最大流问题(如社交网络流量分配、电力网络调度)[^1] - 需快速求解中等规模网络流的场景(竞赛题目常见)
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