洛谷P1052 [NOIP2005 提高组] 过河【DP+路径压缩】

Date：2022.04.13
题目描述
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,⋯,L（其中 LL 是桥的长度）。坐标为 0 的点表示桥的起点，坐标为 L 的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是 S 到 T 之间的任意正整数（包括 S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标 L 的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度 L，青蛙跳跃的距离范围 S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
输入格式
第一行有 1 个正整数 L(1≤L≤10^9)，表示独木桥的长度。
第二行有 3 个正整数 S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中 1≤S≤T≤10,1≤M≤100。
第三行有 M 个不同的正整数分别表示这 M 个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
输出格式
一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
输入输出样例
输入 #1复制
10
2 3 5
2 3 5 6 7
输出 #1复制
2
说明/提示
对于30%的数据，L <=10^4
对于全部的数据，L <=10^9
【题目来源】
NOIP 2005 提高组第二题

思路①：$f[i]：$下标从$0$到$i$最少踩到多少石子。
$f[i]=max(f[i],f[i-j]+st[i]);$
其中$st[i]==1$表示坐标$i$上有石子，$j\in [s,t]$。
30pts。
思路②：观察到石子最多$100$个，类比于离散化的思想，对相距很远的两点来个“路径压缩”。如何确定相距多远时可路径压缩？又压缩到多远？
方法II