第五届蓝桥杯省赛CA-10.波动数列【DP+同余】

Date：2022.04.13
题意描述：
观察这个数列：
1 3 0 2 -1 1 -2 …
这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。
栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加 a 或者减少 b 的整数数列可能有多少种呢？
输入格式
共一行，包含四个整数 n,s,a,b，含义如前面所述。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。
由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007 的余数。
数据范围
$1\le n\le 1000$,
$-10^9<=s\le 10^9$,
$1\le a,b\le 10^6$
输入样例：
4 10 2 3
输出样例：
2
样例解释
两个满足条件的数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

思路：我们设选定初始状态为$x$，每次操作为$d_i$。
$s=x+(x+d_1)+(x+d_1+d_2)+...+(x+d_1+d_2+...+d_{n-1})$
$s=x\ast n+d_1\ast (n-1)+d_2\ast (n-2)+...+d_{n-1}$
$x=\frac{s-[(n-1)\ast d_1+(n-2)\ast d_2+...+d_{n-1}]}{n}(I)$
由此，问题即转化为：有多少种选择使$(I)$中$x$为整数，即有多少种选择使$s\equiv [(n-1)\ast d_1+(n-2)\ast d_2+...+d_{n-1}]【modn】$。
因此$f[i][j]:$前$i$项已确定，且这些和$\%n==j$的方案数。
每一步状态转移都可以$+(n-i)\ast a或-(n-i)\ast b$两种。
代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010,mod=100000007;
int f[N][N],a,b,s,n;
int main()
{
    cin>>n>>s>>a>>b;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][(j-(n-i)*a%n+n)%n])%mod;
            f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][(j+(n-i)*b%n+n)%n])%mod;
        }
    cout<<f[n-1][(s%n+n)%n];
    return 0;
}