【2022寒假基础集训】第二场 - G.小沙的身法【树上差分+LCA】

Date：2022.04.28
题目描述
小沙发现他打球打不赢别人，打架也打不赢别人，所以他去了少林寺学习身法，以求打球的时候可以跑的更快，打架的时候也可以跑的更快（bushi）。
少林寺的方丈告诉小沙，他这种情况可以练习跳木桩，少林寺的一共有n个木桩，为了锻炼打球时的步伐，方丈严格限制的小沙的可移动路线，他规定小沙一定要按照他制定的方案来训练，否则小沙就会被方丈制裁。
小沙发现 方丈制定的路线是一个以一个点扩散开的树形结构，而小沙就需要在这一个树形结构上跳来跳去。由于两个木桩之间的间隔特别特别远，所以每次跳跃都只能在相邻的木桩之间移动。
以地面高度为例，如果地面的高度都视为0（平地），木桩的高度不一,我们视每个木桩高度为$a_i$，小沙每次从低处跳向高处都会消耗两地高度之差的体力，但是从高的跳向低的则不消耗体力。
小沙练习了许久，终于熟能生巧了。
于是他叫来了师傅，想要给师傅秀一吧。
师傅便给了他m个考验 每个考验师傅都要他从地面上跳上指定的uu节点，然后最快速的速度跳向vv节点，然后回到地面，小沙心中也没底所以想问你他至少需要多少体力才能把这个考验完成。
每个考验均相互独立，小沙的体力不会受到上一次考验的影响。
输入描述:
首先输入两个整数$1\le n\le 10^6，1\le m\le 10^5$
分别代表木桩个数以及师傅的考验个数
第二行输入n个数字 代表第i号木桩的高度是$1\le a_i\le 10^9$
随后n-1行 每行两个数字x，y 代表第x号木桩和第y号木桩中间有一条师傅允许经过的路径（双向的）
紧接着的 m行每行两个数字代表着 u节点前往v节点
输出描述:
对于每一个考验输出一行对应的答案
（每个考验均相互独立）
示例1
输入
5 3
1 2 3 4 5
1 3
2 4
3 5
5 2
1 5
1 2
4 2

输出
5
5
4

思路：随便找个根把树拎起来（我选的1号点）。
①$up[i]:$点$i$向上走到根的距离。
②$down[i]:$根向下走到点$i$的距离。
③$lca(i,j)$。
在求$lca$前，求每个点的深度$dep[i]$的同时用前缀和更新$up[i]、down[i]$。
$i、j$的距离即为：
$a[x]+up[i]-up[lca(i,j)]+down[j]-down[lca(i,j)];$【别忘了$平地-x$的距离为$a[x]$】

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=2e6+10;
LL n,m,a[N],h[N],e[N],w[N],ne[N],idx;
LL dep[N/2],fa[N/2][23];
LL up[N],down[N];
void add(int x,int y) {e[idx]=y;ne[idx]=h[x];h[x]=idx++;}
void bfs()
{
    memset(dep,0x3f,sizeof dep);dep[0]=0;
    dep[1]=0;up[1]=0;down[1]=0;
    queue<int>q;q.push(1);
    while(q.size())
    {
        int t=q.front();q.pop();
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dep[j]>dep[t]+1)
            {
                dep[j]=dep[t]+1;
                q.push(j);
                down[j]=down[t]+max((LL)0,a[j]-a[t]);
                up[j]=up[t]+max((LL)0,a[t]-a[j]);
                fa[j][0]=t;
                for(int k=1;k<=20;k++)
                    fa[j][k]=fa[fa[j][k-1]][k-1];
            }
        }
    } 
}
int lca(int a,int b)
{
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
    for(int k=20;k>=0;k--)
        if(dep[fa[a][k]]>=dep[b]) a=fa[a][k];
    if(a==b) return a;
    for(int k=20;k>=0;k--)
        if(fa[a][k]!=fa[b][k]) {a=fa[a][k];b=fa[b][k];}
    return fa[a][0];
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;cin>>x>>y;
        add(x,y);add(y,x);
    }
    bfs();
    while(m--)
    {
        int x,y;cin>>x>>y;
        int p=lca(x,y);
        cout<<up[x]+down[y]-up[p]-down[p]+a[x]<<'\n';//别忘了还有平地~x的花费
    }
    return 0;
}