解线性同余方程【exgcd】

原创 已于 2022-04-01 10:35:09 修改 · 661 阅读 · 0 ·
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#算法 #c++

于 2022-04-01 09:49:48 首次发布
本文介绍如何利用扩展欧几里得算法(exgcd)解决线性同余方程ax ≡ b (mod m)的问题。通过裴蜀定理分析解的存在性和表达式，并给出C++代码实现，处理数据范围不超过10^5，且ai, bi, mi在2*10^9以内的情况。" 106585434,7951077,模拟Spring IoC：Bean注解含参方法处理,"['java', 'spring', 'IoC', '依赖注入']

Date：2022.03.31
题目描述：
给定 n 组数据 ai,bi,mi，对于每组数求出一个 xi，使其满足 ai×xi≡bi(modmi)，如果无解则输出 impossible。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一组数据 ai,bi,mi。
输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 xi，如果无解则输出 impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在 int 范围之内。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi,mi≤2×109
输入样例：
2
2 3 6
4 3 5
输出样例：
impossible
-3

思路：由裴蜀定理，若ax+byax+byax+by有解，则一定存在一组解(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)使得ax0+by0==gcd(a,b);ax_0+by_0==gcd(a,b);ax0​+by0​==

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【poj1061】青蛙的约会 exgcd解同余方程
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Description两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮
线性同余方程初步应用分析
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一元线性同余方程 定义：a，b是整数，m是正整数，形如ax≡b（mod m），且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。 定理：a，b，m是整数且m>0，gcd（a，m）=d，如果d|b，则方程恰有d个模m不同余的解，否则方程无解。 由同余方程式的定义可知：ax+my=b（y为整数），这个方程称为二元一次不定方程。 （1）解一元线性同余方程 设d=gcd（a,m），由定理可知若
exgcd——同余方程
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题目链接 exgcd——同余方程 题目描述 求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b) 的最小正整数解。 输入描述 输入只有一行，包含两个正整数a,b，用一个空格隔开。 输出描述 输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。 示例 输入 3 10 输出 7 备注 对于 40% 的数据，有 2 ≤ b ≤ 1000； 对于 60% 的数据，有 2 ≤ b ≤ 50000000； 对于 100% 的数据，有 2 ≤ a,b ≤ 2000000000。 分析 ax ≡ 1
poj 1061 exgcd解同余方程
Masamiiiiii
05-27 586
点击打开链接http://poj.org/problem?id=1061 #include #include using namespace std; __int64 t,p,d; void exgcd(__int64 a,__int64 b) { if(b==0) { t=1; p=0; d=a;//gcd } else { exgcd(b,a%b); __i
解多元线性同余方程
TheWayForDream
02-01 1666
什么是多元线性同余方程呢？我们知道一元线性同余方程是，之所以称之为一元，是因为它只有一个未知数，那么多元线性同余方程就有多个未知数，别被吓到，其实不难，接下来我们来分析如何解它. 定义 ： 形如a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn=b(mod m)的式子，我们称之为多元线性同余方程 我们知道存在y1，y2，使得a1y1+a2y2=gcd(a1,a2)，令gcd(ai,ai+1)=gi,那么上式就可以写成a1y1+a2y2=g1，那么a1x1+a2x2=g1*C，C是一个常数 我们令m=an+1 所以可
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笑风生
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 因为ACM/ICPC中有些题目是关于数论的，特别是解线性同余方程，所以有必要准备下这方面的知识。关于这部分知识，我先后翻看过很多资料，包括陈景润的《初等数论》、程序设计竞赛例题解、“黑书”和很多网上资料，个人认为讲的最好最透彻的是《算法导论》中的有关章节，看了之后恍然大悟。经过几天的自学，自己觉得基本掌握了其中的“奥妙”。拿出来写成文章。那么什么是线性同余方程？对于方程：ax≡b(mod
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题目描述 求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。 输入 输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。 输出 输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。 样例输入 3 10 样例输出 7 提示 对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。 思路：exgcd的...
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http://139.224.237.251:23333/problem/3003 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0) #define forn(i,n) for(int i=0;i<n;i++) ...
解 线性同余方程
远古小山的专栏
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Looooops(线性同余方程， exgcd)
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题目描述 一个C语言的for循环： for(int i=A;i!=B;i+=C)st; 其中i表示变量，A、B和C分别表示初值、终值和步长，st表示循环体。 要求计算当循环变量i运算在k位无符号整数体系下（运算值范围：0~2^k-1，此时，i+=c溢出后截断），循环体st会执行多少次？ 输入格式 输入每组数据包括4个整数A,B,C和k。 输出格式 对于每组数据，输出循环次数，如果永远不能结束，输出FOREVER。 输入样例 1 3 2 4 1 5 2 4 1 2 4 3 0 0 0 0 输出样
线性同余方程求解
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一、问题描述 解方程 13x=6(mod 34) （1） 对该方程求解的步骤为先求特解，再乘以系数得到通解： 步骤1：13x+34y=1,得到x的所有取值使得等式右端的值为1。 步骤2：对上述方程的左右两端同时乘以6，然后系数13和34不变，用新的x代替原始的x，即得到方程（1）的通解。 二、特解的求取 贝祖定理： 即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。 换句话说
数论 · 求解线性同余方程
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问题 求解方程 ax+by=cax+by=cax+by=c。 以下摘自一本通 1 求特解 定理 对于该方程，它等价于 ax≡c(modb)ax \equiv c \pmod bax≡c(modb)。 即有整数解的充要条件就是：gcd⁡(a,b)≡0(modc)\gcd (a,b) \equiv 0 \pmod cgcd(a,b)≡0(modc)。 求解 根据定理，我们可以先用 扩展欧几里得算法 求出一组解 x0,y0x_0,y_0x0​,y0​，即 a∗x0+b∗y0=gcd⁡(a,b)a*x_0+b*y_
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利用扩展欧几里得算法解同余方程
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因此，求解同余方程 \(ax \equiv b \pmod{m}\) 就转化为求解线性不定方程 \(ax + my = b\) 的整数解 \(x\) 和 \(y\)。 ### 步骤 1. **使用扩展欧几里得算法求解 \(ax + my = \gcd(a, m)\) 的一组特解 \(x_0\) 和 \...
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