解线性同余方程【exgcd】

原创 已于 2022-04-01 10:35:09 修改 · 661 阅读 · 0 ·
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#算法 #c++

于 2022-04-01 09:49:48 首次发布
本文介绍如何利用扩展欧几里得算法(exgcd)解决线性同余方程ax ≡ b (mod m)的问题。通过裴蜀定理分析解的存在性和表达式，并给出C++代码实现，处理数据范围不超过10^5，且ai, bi, mi在2*10^9以内的情况。" 106585434,7951077,模拟Spring IoC：Bean注解含参方法处理,"['java', 'spring', 'IoC', '依赖注入']

Date：2022.03.31
题目描述：
给定 n 组数据 ai,bi,mi，对于每组数求出一个 xi，使其满足 ai×xi≡bi(modmi)，如果无解则输出 impossible。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一组数据 ai,bi,mi。
输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 xi，如果无解则输出 impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在 int 范围之内。
数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi,mi≤2×109
输入样例：
2
2 3 6
4 3 5
输出样例：
impossible
-3

思路：由裴蜀定理，若ax+byax+byax+by有解，则一定存在一组解(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)使得ax0+by0==gcd(a,b);ax_0+by_0==gcd(a,b);ax0​+by0​==

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线性同余方程初步应用分析
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一、问题描述 解方程 13x=6(mod 34) （1） 对该方程求解的步骤为先求特解，再乘以系数得到通解： 步骤1：13x+34y=1,得到x的所有取值使得等式右端的值为1。 步骤2：对上述方程的左右两端同时乘以6，然后系数13和34不变，用新的x代替原始的x，即得到方程（1）的通解。 二、特解的求取 贝祖定理： 即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。 换句话说
数论 · 求解线性同余方程
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问题 求解方程 ax+by=cax+by=cax+by=c。 以下摘自一本通 1 求特解 定理 对于该方程，它等价于 ax≡c(modb)ax \equiv c \pmod bax≡c(modb)。 即有整数解的充要条件就是：gcd⁡(a,b)≡0(modc)\gcd (a,b) \equiv 0 \pmod cgcd(a,b)≡0(modc)。 求解 根据定理，我们可以先用 扩展欧几里得算法 求出一组解 x0,y0x_0,y_0x0​,y0​，即 a∗x0+b∗y0=gcd⁡(a,b)a*x_0+b*y_
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利用扩展欧几里得算法解同余方程
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扩展欧几里得算法可用于求解同余方程 \(ax \equiv b \pmod{m}\)，以下是具体方法及原理： ### 原理 同余方程 \(ax \equiv b \pmod{m}\) 等价于存在整数 \(y\)，使得 \(ax - b = my\)，即 \(ax + my = b\)。因此，求解同余方程 \(ax \equiv b \pmod{m}\) 就转化为求解线性不定方程 \(ax + my = b\) 的整数解 \(x\) 和 \(y\)。 ### 步骤 1. **使用扩展欧几里得算法求解 \(ax + my = \gcd(a, m)\) 的一组特解 \(x_0\) 和 \(y_0\)** 扩展欧几里得算法是在欧几里得算法的基础上，不仅求出 \(\gcd(a, m)\)，还能求出满足 \(ax + my = \gcd(a, m)\) 的整数 \(x\) 和 \(y\)。以下是扩展欧几里得算法的代码实现： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (!b) { x = 1, y = 0; return a; } int d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } ``` 2. **判断方程是否有解** 方程 \(ax + my = b\) 有解的充要条件是 \(b\) 能被 \(\gcd(a, m)\) 整除，即 \(b \% \gcd(a, m) == 0\)。若不满足该条件，则方程无解。 3. **求出 \(ax + my = b\) 的一组特解** 若方程有解，设 \(d = \gcd(a, m)\)，则 \(ax + my = b\) 的一组特解 \(x_1\) 和 \(y_1\) 可由 \(ax + my = d\) 的特解 \(x_0\) 和 \(y_0\) 得到： \(x_1 = x_0 \times \frac{b}{d}\) \(y_1 = y_0 \times \frac{b}{d}\) 4. **求出同余方程的最小非负整数解** 同余方程 \(ax \equiv b \pmod{m}\) 的通解为 \(x = x_1 + k \times \frac{m}{d}\)（\(k\) 为整数）。为得到最小非负整数解，可对 \(x_1\) 进行如下处理： \(x = (x_1 \% \frac{m}{d} + \frac{m}{d}) \% \frac{m}{d}\) ### 完整代码示例 ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 扩展欧几里得算法 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (!b) { x = 1, y = 0; return a; } int d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } // 求解同余方程 ax ≡ b (mod m) int solveCongruence(int a, int b, int m) { int x, y; int d = exgcd(a, m, x, y); if (b % d != 0) { return -1; // 无解 } int k = b / d; x *= k; m /= d; x = (x % m + m) % m; return x; } int main() { int a, b, m; cin >> a >> b >> m; int result = solveCongruence(a, b, m); if (result == -1) { cout << "无解" << endl; } else { cout << "最小非负整数解为: " << result << endl; } return 0; } ``` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**：扩展欧几里得算法的时间复杂度与欧几里得算法相同，为 \(O(\log \min(a, m))\)。 - **空间复杂度**：主要为递归调用栈的空间，空间复杂度为 \(O(\log \min(a, m))\)。
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