树的重心【树形DP】

原创已于 2022-03-31 13:26:48 修改 · 262 阅读

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#c++ #算法 #动态规划

于 2022-03-31 01:56:31 首次发布

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本文介绍了如何使用动态规划方法求解树的重心问题，即找到一个节点，使其到树中其他节点的最远距离最近。通过分析节点的下层最远距离（down1）和上层最远距离（up），并给出具体的数据范围和输入输出样例，阐述了解题思路和代码实现。

Date：2022.03.29
题意描述：
给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。
请你在树中找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n−1 行，每行包含三个整数 ai,bi,ci，表示点 ai 和 bi 之间存在一条权值为 ci 的边。
输出格式
输出一个整数，表示所求点到树中其他结点的最远距离。
数据范围
1≤n≤10000,
1≤ai,bi≤n,
1≤ci≤105
输入样例：
5
2 1 1
3 2 1
4 3 1
5 1 1
输出样例：
2

思路：对于一个结点 $u$ ，与其距离最远的点可能有两种情况：
①在其下方：显然是向下走距离 $u$ 的最远距离，记为 $d o w n 1 [u]$ 。
②在其上方：记为 $u p [u] ，$ 仍然分为两种情况。
(1)从它的父节点 $f a [u]$ 再往上走：
此时 $u p [u] = u p [f a [u]] + g [u] [f a [u]];$
(2)从它的父节点 $f a [u]$ 再往下走：由于是从 $u$ 来的，因此不能走回 $u$ ，此时仍然有两种情况：
a. $f a [u]$ 向下走时， $d o w n 1 [f a [u]] = = d o w n 1 [u] + g [f a [u]] [u];$ 【即 $f a [u]$ 向下走的最长路径经过 $u$ 】，由于不能再经过 $u$ ，还要保证最长，因此选择次长路径 $d o w n 2 [f a [u]]$ 。
即此时： $u p [u] = m a x (u p [u], d o w n 2 [f a [u]] + w [i]);$
b.否则选择最大路径 $d o w n 1 [f a [u]]$ 。
即此时： $u p [u] = m a x (u p [u], d o w n 1 [f a [u]] + w [i]]);$
除此之外，先处理出所有 $d o w n 1 [u] 、 d o w n 2 [u]$ ，因为求 $u p [u]$ 要用到 $d o w n$ 。
答案： $m i n (m a x (u p [i], d o w n 1 [i]);$

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e4+10,M=2e4+10;
typedef long long LL;
LL n,m,f[N],d1[N],d2[N],up[N];
LL h[N],ne[M],e[M],w[M],idx;
void add(LL x,LL y,LL z)
{
    e[idx]=y;ne[idx]=h[x];w[idx]=z;h[x]=idx++;
}
LL dfs_down(LL u,LL fa)
{
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        LL j=e[i];
        if(j==fa) continue;
        LL d=dfs_down(j,u)+w[i];
        if(d>=d1[u]) {d2[u]=d1[u];d1[u]=d;}
        else if(d>d2[u]) d2[u]=d;
    }
    return d1[u];
}
void dfs_up(LL u,LL fa)
{
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        LL j=e[i];
        if(j==fa) continue;
        if(d1[u]==d1[j]+w[i]) 
            up[j]=max(up[j],max(up[u],d2[u])+w[i]);
        else if(d1[u]!=d1[j]+w[i])
            up[j]=max(up[j],max(up[u],d1[u])+w[i]);
        dfs_up(j,u);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        LL a,b,c;cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);add(b,a,c);
    }
    dfs_down(1,-1);
    dfs_up(1,-1);
    LL minn=1e18;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        minn=min(minn,max(up[i],d1[i]));
    cout<<minn;
    return 0;
}