洛谷P1523 旅行商简化版【DP】【绿】

Date：2022.03.26
题目背景
欧几里德旅行商(Euclidean Traveling Salesman)问题也就是货郎担问题一直是困扰全世界数学家、计算机学家的著名问题。现有的算法都没有办法在确定型机器上在多项式时间内求出最优解，但是有办法在多项式时间内求出一个较优解。
为了简化问题，而且保证能在多项式时间内求出最优解，J.L.Bentley提出了一种叫做bitonic tour的哈密尔顿环游。它的要求是任意两点(a,b)之间的相互到达的代价dist(a,b)=dist(b,a)且任意两点之间可以相互到达，并且环游的路线只能是从最西端单向到最东端，再单项返回最西端，并且是一个哈密尔顿回路。
题目描述
著名的NPC难题的简化版本
现在笛卡尔平面上有n(n<=1000)个点，每个点的坐标为(x,y)(-2^31<x,y<231，且为整数)，任意两点之间相互到达的代价为这两点的欧几里德距离，现要你编程求出最短bitonic tour。
输入格式
第一行一个整数n
接下来n行，每行两个整数x,y，表示某个点的坐标。
输入中保证没有重复的两点，
保证最西端和最东端都只有一个点。
输出格式
一行，即最短回路的长度，保留2位小数。
输入输出样例
输入 #1复制
7
0 6
1 0
2 3
5 4
6 1
7 5
8 2
输出 #1复制
25.58

思路：题意就是从起点到终点和从终点到起点的路径组成一个哈密顿回路，即：除了起点和终点外无额外交点。转化模型，从起点走出两条路径到终点，途中两条路径无交叉点（即走不到同一个点）的最短路径和。我们将所有点按横坐标排序，题意保证最左最右两点唯一。
由此，状态方程：$f[i][j]:$一条路径走到$i$号点、另一条路径走到$j$号点的最短距离。
初始状态：$f[1][1]=0;$
状态转移：
首先，我们要知道$i、j$哪个才是靠后的，因为要考虑最后一个点也就是$k=max(i,j)+1$要接在$i$还是$j$后面。
①$f[i][k]=f[i][j]$