洛谷P1410 子序列【玄学DP】【绿】

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#动态规划 #c++ #算法

于 2022-03-23 18:04:31 首次发布

博客讲述了如何解决洛谷P1410问题，即找到长度为N/2的严格递增子序列。通过动态规划的方法，讨论了两种思路，最终实现代码，并探讨了状态转移方程。

Date：2022.03.23
题目描述
给定一个长度为 NN（NN 为偶数）的序列，问能否将其划分为两个长度为 N / 2N/2 的严格递增子序列。
输入格式
若干行，每行表示一组数据。
对于每组数据，首先输入一个整数 NN，表示序列的长度。之后 NN 个整数表示这个序列。
输出格式
输出行数与输入行数相同。
对于每组数据，如果存在一种划分，则输出 Yes!，否则输出No!。
输入输出样例
输入 #1复制
6 3 1 4 5 8 7
6 3 2 1 6 5 4
输出 #1复制
Yes!
No!
说明/提示
【数据范围】
共三组数据，每组数据行数<=50，0 <= 输入的所有数 <= 10^9
第一组(30%)：N <= 20
第二组(30%)：N <= 100
第三组(40%)：N <= 2000

思路①：易得其中一个串必定以 $a [n]$ 结尾，因此打表出所有以它结尾且长度为 $n / 2$ 的严格上升序列，check所有的补集。（可我不会求啊…也没想到复杂度合理的做法）
思路②：看了题解，我们来一步一步推一下怎么得到的二维式子。
我们要讨论两个序列，最暴力的想法是 $f [i] [j] [p] [q]$ :讨论前 $i$ 个元素，有一个长度为 $j$ 的上升序列，另一个长度为 $i - j$ 且也严格上升，两个序列结尾分别为 $p$ 、 $q$ 。
首先不难发现合法解的两个序列中必然有一个序列是以最后一个元素结尾的，因此可去掉一维。由此， $f [i] [j] [p] :$ 讨论前 $i$ 个元素，其中有 $j$ 个在1号串中，有 $i - j$ 个在2号串中。且1、2号串中有一个以