洛谷P2008 大朋友的数字【DP-求LIS方案】【橙】

原创已于 2022-01-23 12:17:33 修改 · 303 阅读

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#动态规划 #算法 #c++

于 2022-01-11 15:20:48 首次发布

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本文介绍了一种算法，用于解决求解以每个数结尾的最长非下降子序列的元素和的问题。通过动态规划确定子序列长度及和，并确保选取字典序最小的序列。

Date：2022.01.11
题意：n个数，求以每个数结尾的最长非下降子序列中每项的和，如果以一个数结尾的最长非下降子序列数量不止一个，取下标字典序最小的那一组加和。

思路：首先求出以每个数结尾的最长非下降子序列的长度 $f [i]$ 。
转移方程： $f[i]=f[j]+1【j∈[0,i−1]∧a[i]>=a[j】f[i]=f[j]+1【j\in[0,i-1] \wedge a[i]>=a[j】$
其次，设以 $i$ 结尾的字典序最小的、最长非下降子序列各元素的和为 $a n s [i]$ 。找到每个 $f [i]$ 是由哪个 $f [j]$ 转移而来的，即找到每个 $f [i] = = f [j] + 1$ 中的 $j$ ，则以 $i$ 结尾的最长非下降子序列一定接在以 $j$ 结尾的最长非下降子序列的后面。
转移方程： $ans[i]=ans[j]+a[i]【j∈[0,i−1]∧a[i]>=a[j]】ans[i]=ans[j]+a[i]【j\in[0,i-1] \wedge a[i]>=a[j]】$
注意：这里一定要有 $a [i] > = a [j]$ ，否则存在：1 2 5 3 4中 $f [5] = = 4$ 且 $f [3] = = 3$ ，但 $a [i] < a [j]$ 因此 $f [5] = = 4$ 不能接在 $f [3] = = 3$ 后面。
代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
typedef long long LL;
LL n,m,t;
LL a[N],f[N],ans[N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) {cin>>a[i];ans[i]=a[i];}
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[i]>=a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(f[i]==f[j]+1&&a[i]>=a[j]) {ans[i]=ans[j]+a[i];break;}
        cout<<ans[i]<<' ';
    }
    return 0;
}