【一本通】轻拍牛头【约数+逆向思维】

原创已于 2022-04-06 12:12:19 修改 · 153 阅读

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#c++ #算法

于 2021-12-30 15:30:12 首次发布

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博客讨论了一种在限制时间内解决求解整数序列中每个数的约数个数的方法。通过遍历每个数的倍数并累加约数计数，避免了原始的平方级复杂度，实现了线性对数时间复杂度的解决方案。代码示例展示了如何实现这一优化算法。

Date：2021.12.29

题意：共有 N 个整数 $A_1$ , $A_2$ ,…, $A_N$ ，对于每一个数 $A_i$ ，求其他的数中有多少个是它的约数。
1≤ N ≤ $10^5$ , 1≤ $A_i$ ≤ $10^6$
设n==1e5,m=1e6

思路①：试除筛每个数的约数，存一下再遍历所有元素对比。T（n）= O（ $n^2$ $m\sqrt{m}$ ），有点扯淡。
思路②：常用套路—求每个数的在序列中的约数个数即每个数是多少数的倍数，因此遍历1~N中每个数的所有该数的倍数，每次当前倍数的约数数量累加这个数的数量。注意最后-1，因为题意不算自身！
T（n）= O（n $log_n$ ）。因为是N/1+N/2…+N/N = N*调和级数 = N $log_N$
代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int cnt[N],a[N],s[N];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) {cin>>a[i];cnt[a[i]]++;}
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=i;j<N;j+=i)
            s[j]+=cnt[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<s[a[i]]-1<<endl;
    return 0;
}