【进阶指南】数据结构 - 楼兰图腾【BIT】

原创已于 2022-04-26 22:33:25 修改 · 158 阅读

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#算法 #c++

于 2022-04-01 16:23:10 首次发布

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本文介绍了西部314在楼兰古城壁画研究中，利用区间统计和Bit Map（位图）算法解决如何计算V和∧图腾数量的问题。通过计算每个点前后大于、小于自身的点的数量，展示了如何编写程序来解决图腾计数问题。

Date：2022.04.01
题意描述：
在完成了分配任务之后，西部 314 来到了楼兰古城的西部。
相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(V)，一个部落崇拜铁锹(∧)，他们分别用 V 和 ∧ 的形状来代表各自部落的图腾。
西部 314 在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了 n 个点，经测量发现这 n 个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。
西部 314 认为这幅壁画所包含的信息与这 n 个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为 (1,y1),(2,y2),…,(n,yn)，其中 y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。
西部 314 打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。
如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk) 满足 1≤i<j<k≤n 且 yi>yj,yj<yk，则称这三个点构成 V 图腾;
如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk) 满足 1≤i<j<k≤n 且 yi<yj,yj>yk，则称这三个点构成 ∧ 图腾;
西部 314 想知道，这 n 个点中两个部落图腾的数目。
因此，你需要编写一个程序来求出 V 的个数和 ∧ 的个数。
输入格式
第一行一个数 n。
第二行是 n 个数，分别代表 y1，y2,…,yn。
输出格式
两个数，中间用空格隔开，依次为 V 的个数和 ∧ 的个数。
数据范围
对于所有数据，n≤200000，且输出答案不会超过 int64。
y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。
输入样例：
5
1 5 3 2 4
输出样例：
3 4

思路：核心任务是求出每个 $a [i]$ 前、后面分别有多少 $> a [i] 、 < a [i]$ ，涉及区间求和用BIT。
每一步动态添加 $a [i]$ ，分别统计出 $a [i]$ 前、后的 $> a [i] 、 < a [i]$ 的数共多少个，用 $g e t s u m$ 。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
typedef long long LL;
LL n,m,a[N],b[N],tr[N];
LL dal[N],dar[N],xiaol[N],xiaor[N];
LL lowbit(LL x) {return x&-x;}
void add(LL x,LL c)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=c;
}
LL getsum(LL x)
{
    LL res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
    return res;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        xiaol[i]=getsum(a[i]-1);
        dal[i]=getsum(n)-getsum(a[i]);
        add(a[i],1);
    }
    memset(tr,0,sizeof tr);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        xiaor[i]=getsum(a[i]-1);
        dar[i]=getsum(n)-getsum(a[i]);
        add(a[i],1);
    }
    LL ans1=0,ans2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans1+=dal[i]*dar[i];
        ans2+=xiaol[i]*xiaor[i];
    }
    cout<<ans1<<' '<<ans2;
    return 0;
}