IncDec Sequence（差分）

最新推荐文章于 2024-04-09 20:27:05 发布

ln2037

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分类专栏：前缀和&差分

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探讨如何通过差分操作使得长度为 n 的数列在不超过10^5的限制下，所有元素变得相同，最少需要的操作次数以及可能的最终结果数量。分析涉及正数和负数的和，以及不同情况下的操作策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定一个长度为 n(n≤105)(n \leq 10^5 )(n≤105) 的数列a1,a2,…,an{a_1,a_2,…,a_n}a1,a2,…,an，每次可以选择一个区间 [l,r]，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。
求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种。
输入描述:

第一行一个正整数n。
接下来n行，每行一个整数，第i+1行的整数表示aia_iai。

输出描述:

第一行输出最少操作次数。
第二行输出最终能得到多少种结果。

输入
4
1
1
2
2

输出
1
2

#求原序列的差分数组，题意等价于将差分数组里在[2, n]区间内的数都变为零所需要的操作次数。
令正数的和为 sumPOS，负数的绝对值之和为 sumPos。
接下来分类讨论：

1.若差分数组里有正数和负数，那么我们尽量选择绝对值相等的一对数进行操作。
2.若只有正数或负数，那么对此项与第一项或者此项与第 n + 1项进行操作。

由此得出最少操作 min(sumPos, sumNeg) + abs(sumPos - sumNeg)次，即max(sumPos, sumNeg)。

根据类型2，可得结果的种类数为 abs(sumPos - sumNeg) + 1。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
int db[maxn];
int a[maxn];

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	ll sumPos = 0, sumNeg = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	db[1] = a[1];
	db[n + 1] = -a[n];
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		db[i] = a[i] - a[i - 1];
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		if(db[i] > 0)
			sumPos += db[i];
		else if(db[i] < 0)
			sumNeg -= db[i];
	
//	cout << max(sumPos, sumNeg) << endl;
	cout << min(sumPos, sumNeg) + abs(sumPos - sumNeg) << endl;
	cout << abs(sumPos - sumNeg) + 1 << endl;
	return 0;
}