离散数学 图的基本概念

1 图

1.1 图的定义

1.1.1 无序积

设$A, B$为任意的两个集合，称

$$\{ \{ a, b \} | a \in A \wedge b \in B \}$$

为$A$与$B$的无序积，记作$A & B$

1.1.2 无向图

一个无向图$G$是一个有序的二元组$<V, E>$，其中

• $V$是一个非空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点
• $E$是无序积$V & V$的有穷多子集，称作边集，其元素称作无向边，简称边

1.1.3 有向图

一个有向图$D$是一个有序的二元组$<V, E>$，其中

• $V$是一个非空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点
• $E$是笛卡尔积$V \times V$的有穷多子集，称作边集，其元素称作有向边，简称边

1.1.4 图

无向图和有向图统称为图，有时用 $G$ 泛指图

用$V(G), E(G)$分别表示$G$的顶点集和边集，$|V (G)|, |E (G)|$分别是$G$的顶点数和边数。

1.1.5 阶

顶点数称作图的阶，$n$个顶点的图称作n阶图

1.1.6 零图、n阶零图、平凡图

一条边也没有的图称作零图

$n$阶零图记作$N _ n$

一阶零图$N _ 1$称作平凡图。平凡图只有一个顶点，没有边

1.1.7 空图

顶点集为空集的图称为空图，记作$\varnothing$

1.1.8 标定图与非标定图

当用图形表示图是，如果给每一个顶点和每一条边指定一个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称为非标定图

1.1.9 基图

将有向图的各条有向边改成无向边后所得到的无向图称作这个有向图的基图

1.2 元素之间的关系

1.2.1 端点与关联次数

设$G = <V, E>$为无向图，$e _ k = (v _ i, v _ j) \in E$，称$v _ i, v _j$为$e _ k$的端点，$e _ k$ 与$v _ i (v _ j)$关联。

若$v _ i \neq v _ j$，则称$e _ k$与$v _ i (v _ j)$的关联次数为$1$

若$v _ i = v _ j$，则称$e _ k$与$v _ i (v _ j)$的关联次数为$2$

如果顶点$v _ l$不与边$e _ k$关联，则称$e _ k$与$v _ l$的关联次数为$0$

设$D = <V, E>$为有向图，$e _ k = <v _ i, v _ j> \in E$，称$v _ i, v _j$为$e _ k$的端点，$v _ i$ 为$e _ k$的始点，$v _ j$ 为$e _ k$的终点，$e _ k$ 与$v _ i (v _ j)$关联。

1.2.2 相邻

无向图中若两个顶点之间有一条边相连接，则称这两个顶点相邻。若两条边至少有一个公共端点，则称这两条边相邻。

有向图中若两个顶点之间有一条有向边，则称这两个顶点相邻，若两条边中一条边的终点是另一条边的始点，则称这两条边相邻

1.2.3 孤立点

图中没有边关联的顶点称作孤立点

1.2.4 无向图的邻域与关联集

设无向图$G = <V, E>, \forall v \in V$

1.2.4.1 邻域

$$N _ G (v) = \{ u | u \in V \wedge (u, v) \in E \wedge u \ne v \}$$

为$v$的邻域

1.2.4.2 闭邻域

N¯G