线性代数 矩阵及其运算

1 矩阵概念

1.1 矩阵的定义

$m\times n$ 个数，构成的 $m$ 行 $n$ 列的数表

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

称为 $m$ 行 $n$ 列 矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵

1.2 与行列式的区别

	行列式	矩阵
本质	一个数	数表
符号	| |	( ) []
形状	行数 = 列数 （方的）	行数不一定等于列数

1.3 矩阵分类

1.3.1 实矩阵与复矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵

元素是复数的矩阵称为复矩阵

1.3.2 零矩阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作

$$O_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$$

1.3.3 方阵

行数与列数相同的矩阵称为方阵

1.3.4 行矩阵与列矩阵

只有一列的矩阵称为列矩阵（列向量），常用 $a,\alpha ,x$ 表示

只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量），常用 $a^T,{\alpha }^T,x^T$ 表示

1.3.5 单位阵

对角线上元素全是 $1$ ，其他元素全是 $0$ ，的方阵称为单位阵，记作：

$$E_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$

1.3.6 同型矩阵

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵

若两个矩阵为同型矩阵，且它们对应元素相等，即

$$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$$

那么就称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相等，记作

$$A=B$$

注意：不同型的零矩阵是不同的

2 矩阵的运算

2.1 矩阵的加减法

只有同型矩阵才能相加减

$$A+B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]$$

$$A-B=[\begin{array}{ccc}{a}_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}& \cdots \\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \\ a_{m1}-b_{m1}& a_{m2}-b_{m2}& \end{array}$$