线性代数 行列式

1 二阶三阶行列式

1.1 二阶行列式

$2$ 行 $2$ 列 $4$ 个元素

$a_{ij}$

$i$ 为行标，$j$ 为列标

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

主对角线： 左上角到右下角

次（副）对角线： 右上角到左下角

行列式的值为： 主对角线的乘积 - 次（副）对角线的乘积

1.2 三阶行列式

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$
三正 三负 六项

1.3 排列与逆序

1.3.1 排列

由 $1,2,\cdots ,n$ 组成的一个有序数组叫 $n$ 级排列

（中间不能缺数）

$n$ 级排列共有 $n(n-1)\cdots 2\times 1=n!$ 种

$N(1234\cdots n)=0$ 标准（自然）排列

1.3.2 逆序

大数排在小数的前面

1.3.3 逆序数

有序数组中逆序的总数，用 $N()$ 表示

$$N(4213)=3+1+0+0=4$$

数逆序数方法：

• 从第一个开始，挨个数后面有几个比它小的
• 切记顺序不能乱

1.3.4 对换

交换有序数组中的两个数

逆序数为奇数的排列叫做奇排列

逆序数为偶数的排列叫做偶排列

一个排列经过一次对换，排列的奇偶性会变换

定理：在 $n$ 级排列中，奇排列和偶排列各占 $\frac{n!}{2}$

2 n阶行列式

2.1 定义

2.1.1 按行展开

行标取标准排列

列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出 $n$ 个元素相乘，符号由列标排列的奇偶性决定

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|={\Sigma }_{j_1\cdots j_n}(-1{)}^{N(j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$

$$D=|a_{ij}|$$

2.1.2 按列展开

与按行展开同理

2.1.3 特殊展开（既不按行也不按列）

$$D=\Sigma (-1{)}^{N(i_1{i}_2\cdots i_n)+N(j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{i_1{j}_1}{a}_{i_2{j}_2}\cdots a_{i_n{j}_n}$$

2.2 特殊行列式

下三角行列式

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$

下三角行列式的值 等于 主对角线元素相乘

$$|\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & a_{1n}\\ 0& 0& \cdots & \\ ⋮& ⋮& & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & \end{array}$$