1 二阶三阶行列式
1.1 二阶行列式
2 2 2 行 2 2 2 列 4 4 4 个元素
a i j a_{ij} aij
i i i 为行标, j j j 为列标
∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} ∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=a11a22−a12a21
主对角线: 左上角到右下角
次(副)对角线: 右上角到左下角
行列式的值为: 主对角线的乘积 - 次(副)对角线的乘积
1.2 三阶行列式
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
三正 三负 六项
1.3 排列与逆序
1.3.1 排列
由 1 , 2 , ⋯   , n 1, 2, \cdots, n 1,2,⋯,n 组成的一个有序数组叫 n n n 级排列
(中间不能缺数)
n n n 级排列共有 n ( n − 1 ) ⋯ 2 × 1 = n ! n(n - 1) \cdots 2 \times 1 = n! n(n−1)⋯2×1=n! 种
N ( 1234 ⋯ n ) = 0 N(1234 \cdots n) = 0 N(1234⋯n)=0 标准(自然)排列
1.3.2 逆序
大数排在小数的前面
1.3.3 逆序数
有序数组中逆序的总数,用 N ( ) N() N() 表示
N ( 4213 ) = 3 + 1 + 0 + 0 = 4 N(4213) = 3 + 1 + 0 + 0 = 4 N(4213)=3+1+0+0=4
数逆序数方法:
- 从第一个开始,挨个数后面有几个比它小的
- 切记顺序不能乱
1.3.4 对换
交换有序数组中的两个数
逆序数为奇数的排列叫做奇排列
逆序数为偶数的排列叫做偶排列
一个排列经过一次对换,排列的奇偶性会变换
定理:在 n n n 级排列中,奇排列和偶排列各占 n ! 2 \frac{n!}{2} 2n!
2 n阶行列式
2.1 定义
2.1.1 按行展开
行标取标准排列
列标取排列的所有可能,从不同行不同列取出 n n n 个元素相乘,符号由列标排列的奇偶性决定
∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = Σ j 1 ⋯ j n ( − 1 ) N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \Sigma _ {j _1 \cdots j_n} (-1) ^ {N(j_1 j _2 \cdots j_n )} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=Σj1⋯jn(−1)N(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn
D = ∣ a i j ∣ D = |a_{ij}| D=∣aij∣
2.1.2 按列展开
与按行展开同理
2.1.3 特殊展开(既不按行也不按列)
D = Σ ( − 1 ) N ( i 1 i 2 ⋯ i n ) + N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a i 1 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i n j n D = \Sigma(-1)^{N(i_1 i_2 \cdots i_n) + N(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n} D=Σ(−1)N(i1i2⋯in)+N(j1j2⋯jn)ai1j1ai2j2⋯ainjn
2.2 特殊行列式
下三角行列式
∣ a 11 0 ⋯ 0 a 21 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an10a22⋮an2⋯⋯⋯00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22⋯ann
下三角行列式的值 等于 主对角线元素相乘
∣ 0 0 ⋯ a 1 n 0 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ( − 1 ) N ( n ( n − 1 ) ⋯ 1 ) a 1 n a 2 ( n − 1 ) ⋯ a n 1 \begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & a_{1n}\\ 0 & 0 & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = (-1) ^ {N(n (n - 1) \cdots 1 )} a_{1n} a_{2(n - 1)} \cdots a_{n1} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an100⋮an2⋯⋯⋯a1n