高等数学（下）无穷级数

1 常数项级数的概念和性质

1.1 定义

1.1.1 无穷级数

设给定一个数列： $u_1,u_2,u_3\dots u_n,\dots$

式子

$$u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$

称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，其中$u_n$成为一般项或通项。

1.1.2 部分和

前 $n$ 项的和为：$S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$，称$S_1, S_2, \dots S_n \dots $为部分和数列。

1.1.3 收敛

若${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$， 称数列收敛，$S$为级数的和，即：

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S$$

若${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 不存在，称级数发散

1.2 性质

• 线性性质

若级数$\sum u_n,\sum v_n$ 都收敛，则

$\sum (a{u}_n\pm b{v}_n)$也收敛，且 $\sum (a{u}_n\pm b{v}_n)=a\sum u_n\pm b\sum v_n$

$a,b$为常数

• 级数中去掉、加上或改变有限项，敛散性不变

• 级数加括号增强收敛性

• 若级数收敛，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$$

1.3 常见级数

1.3.1 几何级数

无穷级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^n+\dots$$

叫做等比级数（几何级数）

当$|q|<1$时收敛， 当$|q|\ge 1$时发散。

1.3.2 p级数

无穷级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots +\frac{1}{n^p}+\dots$$

叫做p级数

当$|p|>1$时收敛， 当$|p|\le 1$时发散。

2 常数项级数的审敛法

2.1 正项级数

2.1.1 定义

如果级数的每一项都大于等于零，称级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 为正项级数

2.1.2 收敛

正数项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{S _ n} 有界

2.2 正项级数的审敛法

2.2.1 比较审敛法

2.2.1.1 描述

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$ 都是正项级数，且$u_n\le v_n(n=1,2,3\dots )$。若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，反之，若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散, 则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$发散。

2.2.1.2 极限形式

设${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$ 都是正项级数，且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$$

• 若$0<l<+\infty$，则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$，同敛散。

• 若$l=0$，则当${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，有