离散数学 代数结构

1 代数系统

1.1 二元运算及其性质

1.1.1 二元运算

1.1.1.1 定义

设 $S$ 为集合，函数 $f : S \times S \to S$ 称为 $S$ 上的二元运算。

这时也称 $S$ 对 $f$ 是封闭的

1.1.1.2 验证方法

• $S$ 中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的
  • $S$ 中任何两个元素的运算结果都属于$S$，即$S$对该运算是封闭的

  1.1.2 一元运算

  设 $S$ 为集合，函数 $f : S \to S$ 称为 $S$ 上的一元运算。

  这时也称 $S$ 对 $f$ 是封闭的

  1.1.3 算符

  1.1.4 表示法

  1.1.4.1 表达式

  1.1.4.2 运算表

  1.1.5 二元运算的性质

  1.1.5.1 涉及一个二元运算的算律

  1.1.5.1.1 交换律

  1.1.5.1.2 结合律

  1.1.5.1.3 幂等律

  1.1.5.1.4 消去律

  1.1.5.2 涉及两个不同二元运算的算律

  1.1.5.2.1 分配律

  1.1.5.2.2 吸收率

  1.1.6 特异元素

  1.1.6.1 单位元（幺元）

  单位元如果存在，则是唯一的

  1.1.6.2 零元

  零元如果存在，则是唯一的

  如果$|S| > 1$，则单位元不等于零元

  1.1.6.3 幂等元

  1.1.6.4 可逆元及其逆元

  对于可结合的二元运算，可逆元素$x$只有唯一的逆元$x _ {-1}$

  1.2 代数系统

  1.2.1 代数系统（代数）

  非空集合$S$与$S$上的$k$个一元或二元运算$f _ 1, f _ 2, \cdots, f _ k$ 组成的系统称作一个代数系统，简称代数，记作

  1.2.2 特异元素（代数常数）

  1.2.3 同类型的代数系统

  如果两个代数系统中的运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且 代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型得代数系统

  1.2.4 同种的代数系统

  1.2.5 子代数

  1.2.5.1 子代数系统

  设$V = <S, f _ 1, f _ 2, \cdots, f _ k>$是代数系统，$B \subseteq S$，如果$B$对$f _ 1, f _ 2, \cdots, f _ k$ 都是封闭的，且 $B$ 和 $S$ 含有相同的代数常数，则称 是 $V$ 的子代数系统，简称子代数。有时将子代数系统简称为$B$

  $V$的子代数与$V$不仅是同类型的，也是同种的。

  1.2.5.2 平凡子代数

  最大的（原代数系统）和最小的子代数称为 $V$ 的平凡子代数

  1.2.5.3 真子代数

  若 $B$ 是 $S$ 的真子集，则 $B$ 构成的子代数称为 $V$ 的真子代数

  1.2.6 积代数

  1.2.6.1 定义

  设$V _ 1 = <A, \circ >$ 和 $V _ 2 = < B, *>$ 是同类型的代数系统，$\circ, *$ 为二元运算，在集合 $A \times B$上如下定义二元运算$\cdot$

  $\forall <a _ 1, b _ 1>, <a _ 2, b _ 2> \in A \times B$，有

  <a1,b1>⋅<