14、基于可压缩字符串的蔡廷Ω数新表示

基于可压缩字符串的蔡廷Ω数新表示

在数学和计算机科学领域，蔡廷Ω数是一个非常有趣且重要的概念。本文将围绕蔡廷Ω数的新表示展开，介绍相关定理和概念，以及它们之间的联系。

1. 部分随机性的不动点定理

首先，我们有一个关于部分随机性的不动点定理。设 $V$ 是一个最优无前缀机器，对于任意 $T \in (0, 1)$，如果 $Z_V(T)$ 是可计算的，那么 $T$ 是弱蔡廷 $T$-随机且 $T$-可压缩的，并且有：
[
\lim_{n \to \infty} \frac{H(T \upharpoonright n)}{n} = T
]
这个等式意味着 $T$ 的压缩率等于其本身。直观地理解，想象一个无限大小的文件，其内容为 “这个文件的压缩率是 0.100111001 …… ”，当对这个文件进行压缩时，其实际压缩率确实是 0.100111001 …… ，这形成了一个自引用的不动点。

2. 左可计算实数的性质

接下来，我们介绍左可计算实数在部分随机性上的特殊性质。
- $T$-收敛的定义 ：设 $T \in (0, 1]$，一个实数的递增序列 ${a_n}$ 被称为 $T$-收敛的，如果 $\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n + 1} - a_n)^T < \infty$。一个左可计算实数 $\alpha$ 被称为 $T$-收敛的，如果存在一个收敛到 $\alpha$ 的 $T$-收敛的可计算递增有理数序列。
- 定理 ：设 $T$ 是一个可计算实数且 $0 < T < 1$，对于每个左