6、高效欧拉图绘制技术解析

高效欧拉图绘制技术解析

1. 曲线添加与哈密顿性质

在欧拉图的绘制过程中，曲线的添加至关重要。当我们将哈密顿性质扩展到新的对偶图时，哈密顿循环中某条边 (e) 的存在意义重大。它能确保我们利用其相邻顶点将虚线路径连接起来，从而创建一个新的哈密顿循环。一般来说，在欧拉图对偶图 (EGD(d)) 的哈密顿循环和曲线添加循环中都存在某条边，就足以保证在添加曲线后新的对偶图中存在哈密顿循环。

下面给出一个有效曲线添加循环的定义：
设 (d) 是一个原子欧拉图，(ZON) 是 (d) 中一个非空的区域集合。对于 (d) 且尊重 (ZON) 的曲线添加循环 (s) 是有效的，当且仅当 (s) 内部没有顶点，并且 (s) 中存在一条边 (e)，使得 (EGD(d)) 中存在包含 (e) 的哈密顿循环。

有引理表明：设 (d) 是一个可扩展哈密顿性质（H - extendible）的原子欧拉图，(ZON) 是 (d) 中一个非空的区域集合，那么存在一个对于 (d) 且尊重 (ZON) 的有效曲线添加循环。

这意味着在我们的图生成过程的每一步，都希望生成一个可扩展哈密顿性质的图，这样下一步就至少存在一个有效的曲线添加循环。

定理指出：设 ((D_i, D_{i + 1})) 是重组中的一对描述，(d_i = (C, l)) 是 (D_i) 的一个可扩展哈密顿性质的欧拉图绘制。那么存在 (D_{i + 1}) 的一个可扩展哈密顿性质的宽松绘制 (d_{i + 1})，它是通过使用一个有效曲线添加循环向 (d_i) 添加一条曲线得到的。

为了保证使用 iCurves 进行绘制的可行性，我们选择尊重 (ZON) 的最短有效曲线添加循环