41、Tessellations and Tilings in Computational Geometry and Topology

Tessellations and Tilings in Computational Geometry and Topology

1 引言

镶嵌和铺砌是计算几何与拓扑学中的重要主题，广泛应用于数字图像处理、计算机视觉等领域。通过将平面划分为有限的、边界明确的区域，我们可以更好地理解复杂形状的结构，并开发出高效的算法来处理这些问题。本文将详细介绍镶嵌和平面有限边界区域的基础理论，以及这些概念在实际应用中的具体实现。

2 镶嵌和平面有限边界区域

镶嵌是指将一个平面划分为若干个互不重叠的多边形区域的过程。这些区域通常被称为“瓷砖”或“单元”。为了确保镶嵌的有效性和实用性，我们需要考虑以下几个方面：

• 区域的形状 ：镶嵌中的每个区域通常是规则的多边形，如三角形、正方形或六边形。
• 边界条件 ：每个区域的边界必须是封闭的，并且相邻区域之间不能有重叠或间隙。
• 连通性 ：所有区域应形成一个连通的整体，没有孤立的区域。

示例：平面有限边界区域的镶嵌

假设我们有一个矩形区域，需要将其划分为若干个小矩形。可以采用以下步骤：

1. 确定边界 ：定义矩形区域的四个顶点坐标。
2. 划分网格 ：将矩形区域按照一定的间隔划分为多个小矩形。
3. 验证连通性 ：确保所有小矩形之间没有重