10、薄翼型与集中涡元：理论、计算与应用

薄翼型与集中涡元：理论、计算与应用

1 薄翼型理论总结

薄翼型理论的结果可以总结如下：
- 所有薄翼型的升力系数 $C_{ℓ}= 2\pi(\alpha - \alpha_{0})$，其中零升力迎角 $\alpha_{0}$ 由弯度线斜率分布的加权积分给出，公式为 $\alpha_{0} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{dy}{dx} (1 + \cos \chi) d\chi$。
- 所有薄翼型的气动中心都在四分之一弦长处。
- 绕气动中心的俯仰力矩系数由弯度线斜率分布的另一个加权积分给出，公式为 $C_{mc/4} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{dy}{dx} (\cos \chi + \cos 2\chi) d\chi$。
- 对于无弯度翼型（$\frac{dy}{dx} \equiv 0$），零升力迎角和气动中心的俯仰力矩系数都为零，这是由对称性预期的结果。

2 薄翼型积分的解析计算

2.1 弯度线斜率分布

一些翼型的弯度线由显式公式定义，例如 NACA 四位和五位翼型。对于这类弯度线，斜率分布可以表示为一对余弦级数的形式：
$\frac{dy}{dx} =
\begin{cases}
f_{0} + f_{1} \cos \chi + f_{2} \cos 2\chi + \cdots, & \frac{x}{c} < p \
a_{0} + a_{1} \cos \chi + a_{2} \cos 2\chi + \cdots, & p < \frac{