空气动力学（笔记自留）-第七章（文末附彩蛋）

第七章 翼型与细长旋成体起动特性的近似计算方法

本章介绍飞行器典型部件模型的气动特性近似计算方法。

7.1 翼型的几何描述与空气动力系数

翼型时飞机机翼和尾翼成型的重要组成部分，直接影响飞机的气动性能和飞行品质。

7.1.1 翼型的几何参数

对于不同的飞行速度，机翼的翼型形状是不同的。
翼型上下表面由一定形状的曲线连成。翼型的最前端点称为前缘点，最后端点称为后缘点。翼型前后缘点的连线称为翼型的几何弦。前后缘点之间的距离称为翼型的弦长，用c表示。
翼型的几何特性以弦线为基准线（x轴）来描述。上下翼面型线的方程可分别写为：上翼面：yu=yu(x)，下翼面：yl=yl(x)
上下翼面y坐标之差的一半定义为翼型的厚度函数：yt(x)=1/2·(yu-yl)
yu-yl的最大值称为翼型厚度t，通常以弦长为基准度量厚度，即相对厚度：t-=t/c=2ytmax/c
上下翼面y向高度中点的连线称为翼型中弧线。若中弧线是一条直线（与弦线合一），这个翼型是对称翼型。若中弧线是曲线，就说明翼型有万都。翼型的弯度函数，即中弧线y坐标，为上下翼面y坐标之和的一般：yf(x)=1/2·（yu+yl）
中弧线上最高点的y坐标称为翼型的弯度f，也通常用其与弦长之比表示，即相对弯度：f-=f/c=yfmax/c。

7.1.2 NACA系列翼型

常被用作理论及试验分析的参照标准。

7.1.3 翼型的空气动力系数

1. 翼型所受的力和力矩
   翼型绕流视为平面流动 ，翼型上的气动力是无限翼展机翼在展向取单位长度的部分所受的气动力。飞行器在翼型表面上每点都作用有垂直于翼面的压力p和与翼面相切的摩擦切应力τ(垂直于翼面的黏性正应力应略去)。作用于翼型上的分布力可合成为作用于某参考点的一个合力R和绕该参考点的合力矩M。
   设V∞为飞行器远前方未经扰动的气流速度，c为翼型弦长，α为迎角，即来流V∞与翼弦线之间的夹角，对弦线而言，来流上偏为正，下偏为负。
   作用于翼型上的空气动力合力在垂直于弦线方向的分量称为法向力，用N表示；在平行于弦线方向的分量称为轴向力，用A表示。合力还可以分解为垂直于来流V∞方向的分量即平行于V∞的分量，分别称为升力和阻力，并分别用L和D表示，满足下列公式：L=Ncosα-Asinα，D=Nsinα+Acosα。
   作用于翼型上的合力矩是绕z轴（垂直于翼型所在的xy平面）的，称为俯仰力矩，规定使翼型前缘抬起的力矩为正。翼型前缘是一个常用参考点，此时俯仰力矩用MLE表示。
2. 压力中心
   若绕参考点的力矩为零，则该点称为压力中心，也即翼型所受空气动力合力的作用点。xcp为压力中心距前缘的距离。当参考点取在翼型前缘时，翼型所受的空气动力和力矩可以表示为作用于该点的力N,A和力矩MLE。
   压力中心位置xcp可计算如下。由MLE=-xcpN得xcp=-MLE/N。
   当迎角α很小时，sinα≈0，cosα≈1，则有xcp=-MLE/L。
3. 空气动力系数
   工程中常用无量纲的空气动力系数，翼型的空气动力系数定义如下：
   1 . 升力系数：CL=L/q∞c=L/1/2·ρ∞V∞^2c
   式中，ρ∞、V∞分别为飞行器远前方未经扰动的自由流密度和速度；q∞=ρ∞V∞^2/2称为动压，是单位体积的自由来流动能；c为翼型弦长。
   2 . 阻力系数：CD=D/1/2·ρ∞V∞^2c。
   3 . 前缘俯仰力矩系数：CM,LE=MLE/1/2·ρ∞V∞^2c^2。
   对其他参考点的俯仰力矩系数定义类似。
   试验表明，对于给定集合形状的翼型，气动力和力矩是自由流速度、密度、黏度、翼型弦长、迎角的函数。根据量纲分析，可得气动力系数为雷诺数Re、马赫数Ma和迎角α的函数 ，CL=fL(Re,Ma,α)，CD=fD(Re,Ma,α)，CM=fM(Re,Ma,α)
   对于低速翼型绕流，空气的压缩性可忽略不计，空气动力系数实际上是来流迎角α和雷诺数Re的函数。对升力问题又可略去黏性的影响时，升力系数将只是迎角α的函数。对于高速流动压缩性的影响必须计入，因此马赫数Ma也称为主要的影响变量。上式中的函数具体形式可通过试验或理论分析进一步给出。

7.2 低速翼型的薄翼理论与气动特性

翼型的升力和绕流环量之间的关系满足儒科夫斯基定理：F=ρV∞×τ。
绕翼型的环量取决于翼型的几何形状和自由流速度，根据将翼型变换为圆的解析状态确定。一般情况下，找到解析函数比较困难。
本节介绍另一种计算低速翼型气动特性的方法，它针对薄翼型，即厚度和弯度都很小的翼型。当理想不可压直匀流以小迎角绕流这样的翼型时，整个流场和均匀流畅美欧很大差别可以将薄翼型的存在看成对直匀流场的小扰动，绕薄翼型的流场是在原均匀流场上叠加了一个小扰动的流场。低速翼型绕流的速度优势满足拉普拉斯方程，线性可叠加；而小扰动下翼面边界条件也可以线性化因而也具有叠加性，这时翼型的弯度、厚度、迎角三者的影响可以分开处理，然后叠加。这种方法称为“薄翼理论”。相应，用保角变换法计算翼型的气动特性时是把翼型的厚度和弯度放在一起处理的，对翼型的厚度没有限制，称为“厚翼理论”。

7.2.1 薄翼型绕流的扰动速度势及其分解

1. 扰动速度势及其方程
   将坐标原点置于翼型的前缘点，x轴置于翼型的弦线上，这样的坐标系称为体轴系。
   设翼型绕流场的速度势函数为Φ，可将其分解为Φ=Φ∞+φ。
   上式中，Φ∞为速度为V∞、与弦线成α角的直匀流的速度势函数：Φ∞=(V∞cosα)x+(V∞sinα)y
   φ为翼型绕流场速度势函数Φ与直匀流速度势函数Φ∞之差，称为翼型产生的（对直匀流的）扰动速度势。Φ则称为全速度势。
   全速度势满足拉普拉斯方程：∂^2Φ/∂x^2+∂^2Φ/∂y^2=0，即∂^2(Φ∞+φ)/∂x^2+∂^2(Φ∞+φ)/∂y^2=0。
   而直匀流的速度势函数Φ∞也满足拉普拉斯方程，由此可推出：∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2=0。
   即扰动速度势亦满足拉普拉斯方程，因而扰动速度势也具有可叠加性。
   如果φf,φt,φα分别为无弯度厚板、有厚度对称翼型和有迎角的平板产生的小扰动速度势，均满足拉普拉斯方程。显然，它们的和也满足拉普拉斯方程。
2. 翼面边界条件的线性化近似
   薄翼型绕流的速度为：u=∂(Φ∞+φ)/∂x=V∞cosα+∂φ/∂x，v=∂(Φ∞+φ)/∂y=V∞sinα+∂φ/∂y。记∂φ/∂x=u'，∂φ/∂y=v'为扰动速度。则在小迎角下，速度为u≈V∞+u'，v≈V∞α+v'。
   理想无黏假设下，翼面的边界条件为翼面上流体速度与翼面相切且，即dyw/dx=vw/uw=V∞α+vw'/V∞+uw'。式中，下标“w”代表壁面。
   上式整理为：vw'=V∞dyw/dx+uw'dyw/dx-V∞α
   对于薄翼型，翼型的厚度和弯度都很小，上式只保留一阶小量后成为vw'=V∞dyw/dx-V∞α。
   根据各方程及函数可得yw|ul=yf±yt。
   对于翼面边界条件可进一步写为vw'|lu=V∞dyf/dx±V∞dyt/dx-V∞α。
   也可以采用速度势φ的偏导数表达为：∂φ/∂y|yl-yu=V∞dyf/dx±V∞dyt/dx-V∞α
3. 薄翼型绕流的分解
   无厚度弯板yf(x)，有厚度对称翼型±yt(x)和迎角为α的平板产生的小扰动速度势φf,φt,φα在各自翼面的边界条件分别为∂φf/∂y|yf=V∞dyf/dx，∂φt/∂y|yt=±V∞dyt/dx，∂φα/∂y|0=-V∞α。
   在yf，yt，α均为小量的情况下，φf,φt,φα之和在yu和yl处满足[∂(φf+φt+φα)/∂y](yl-yu)=V∞dyf/dx±V∞dyt/dx-V∞α。
   对比上式可知，在薄翼型物面上，(φf+φt+φα)和具有相同弯度、厚度和迎角的薄翼型的扰动速度势φ满足相同的条件，也就是说它满足薄翼型的物面边界条件。而已知(φf+φt+φα)满足拉普拉斯方程，因此可知它就是薄翼型的扰动速度势，即φ=φf+φt+φα。
   这样，就将薄翼型的扰动速度势分解成了无厚度弯板、有厚度对称翼型和有迎角的平板三个流动的扰动速度势的叠加。相应地，其扰动速度也分解成了三个流动扰动速度的叠加。
4. 压强系数Cp的线性化近似及分解
   对于理想不可压无旋流动，根据伯努利方程，压强系数为Cp=1-(V/V∞)^2
   将薄翼绕流的速度式代入，得Cp=1-[(V∞cosα+u')^2+(V∞sinα+v')^2]/V∞^2
   在弯度、厚度、迎角均为小量的假设下，上式若只保留一阶小量，则为Cp=-2u'/V∞
   整理得Cp=Cpf+Cpt+Cpα
   特别地，在物面上有Cp,w=Cpf,w+Cpt,w+Cpα,w
   可见，在小扰动条件下，翼面压强系数也可近似分解为弯度、厚度、迎角三部分贡献的线性和。
5. 小结
   综上，根据扰动速度势的方程的线性可叠加性质、翼面上y方向扰动速度的线性可叠加性质和翼面压强系数的线性可叠加性质，可将薄翼小迎角绕流问题分解为三个简单势流的叠加，即
   薄翼型绕流=弯度问题（中弧线yf弯板的零迎角绕流）+厚度问题（厚度分布为yt的对称翼型零迎角绕流）+迎角问题（迎角不为零的平板绕流）
   也就是说，对小迎角的薄翼型不可压绕流，其扰动速度势、物面边界条件、压强系数均可线性叠加，作用在薄翼型上的升力、力矩可以视为弯度、厚度、迎角的作用之和。其中，厚度问题因翼型对称，翼型压强分布上下对称，不产生升力和力矩。弯度和迎角问题对应的流动上下不对称，上下翼面有压差，所以产生升力和力矩。可将弯度和迎角作用合起来处理，称为迎角-弯度问题。因此对于小迎角的薄翼型绕流，求其升力和力矩特性时，可将翼型用一个有迎角无厚度的中弧线弯板代表，通过求解这个弯板绕流问题来计算升力和力矩。

7.2.2 迎角-完蛋问题及其求解

儒科夫斯基定理指出作用在翼面上的升力与翼型的绕流环量成正比，反过来也说明，能够产生升力的翼型绕流，一定存在绕翼型的环量。环量是可以通过点涡来体现的，因此若采用基本解叠加法求解又省力的翼型绕流问题，就可以通过若干点涡流场的线性叠加模拟翼型绕流场。

1. 求解方法
   薄翼理论中，对能产生升力的弯板（有迎角或无迎角）或有迎角的平板，用连续分布在中弧线上的我代替其作用。记γ=γ(s)为当地的单位长度上的涡强，ds段上的环量为γ(s)ds。当中弧线的弯度很小时，在中弧线上分别涡可以认为和在弦线上分布涡的作用使一样的。这样γ=γ(ξ)，而整个翼型的总环量为τ=∫(0-c)(γ(ξ)dξ)
   式中，c为翼型弦长。确定环量就可计算升力，可见关键的问题是确定涡强γ(ξ)分布。
   点涡的速度势函数是满足拉普拉斯方程，上述分布涡γ(ξ)势函数的积分也满足拉普拉斯方程。γ(ξ)的具体数值通过满足翼型绕流的两个边界条件来确定：翼面上流速与翼面相切+库塔-儒科夫斯基后缘条件，即翼型上下翼面的流动在尖后缘处平滑汇合。
   翼面上流速与翼面相切的条件可表述为vw'=V∞(dyf/dx-α)
   其中