15、全安全隐藏向量加密技术解析

全安全隐藏向量加密技术解析

1. 复杂度假设

在加密技术的研究中，我们采用复合阶对称双线性群，并且该构造方法也能直接应用于非对称环境。我们假定存在一个高效的群生成算法 $G$，它以安全参数 $\lambda$ 作为输入，输出双线性环境的描述 $I = (N, G, G_T, e)$。这里，$G$ 和 $G_T$ 是阶为 $N$ 的循环群，映射 $e : G^2 \to G_T$ 具有双线性和非退化性等特性。
- 双线性 ：对于任意的 $g, h \in G$ 以及 $a, b \in Z_N$，都有 $e(g^a, h^b) = e(g, h)^{ab}$。
- 非退化性 ：存在 $g \in G$，使得 $e(g, g)$ 在 $G_T$ 中的阶为 $N$。

同时，我们还需要群 $G$ 和 $G_T$ 的描述包含各自循环子群的生成元，并且群运算和双线性映射 $e$ 都能在关于 $\lambda$ 的确定性多项式时间内完成计算。接下来，我们给出两个复杂度假设：
- 假设 1 ：这是一个关于双线性环境的子群决策类型假设。首先随机选取一个双线性环境 $I = (N = p_1p_2p_3p_4, G, G_T, e) \leftarrow G(1^{\lambda})$，然后选取 $A_3 \leftarrow G_{p_3}$，$A_{13} \leftarrow G_{p_1p_3}$，$A_{12} \leftarrow G_{p_1p_2}$，$A_4 \leftarrow G_{p_4}$，$T_1 \leftarrow G_{p_1p_3}$，$T_